ДИНАМИКА ИЗМЕНЕНИЯ НАЦИОНАЛЬНОГО ДОХОДА ВО ВРЕМЕНИ В МАКРОЭКОНОМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ВОСПРОИЗВОДСТВА

DYNAMICS OF CHANGE OF NATIONAL INCOME OVER TIME IN MACROECONOMIC MODELS OF REPRODUCTION

Anna Martirosyan

senior lecturer of the Department of Mathematical Methods in economics of Plekhanov Russian University of Economics,

Russia, Moscow

АННОТАЦИЯ

Исследуется зависимость национального дохода от времени  в рамках простой макроэкономической модели воспроизводства. Предполагается, что функция потребления зависит от времени по закону гиперболического косинуса. Получено линейное неоднородное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка относительно  на основе закона баланса производства и потребления. Решение данного уравнения методом вариации постоянной приводит к аналитическому выражению для  Рассмотрен также случай, когда темп прироста потребления равен технологическому темпу прироста национального дохода. Показано, что при указанном выборе функции потребления решение дифференциального уравнения имеет неустойчивый характер.

ABSTRACT

The dependence of national income from time  within the framework of a simple macroeconomic model of reproduction is investigated. It is assumed that the consumption function  depends on time according to the law of the hyperbolic cosine. An inhomogeneous linear ordinary differential equation of first order for  with respect to the basis of the law of the balance of production and consumption is found. The solution of this equation by the method of continuous variation leads to the analytical expression for  The case when the growth rate of consumption equals to the technological rate of growth of national income also is considered. It is shown that under the specified choice of consumption function the solution of differential equation is unstable.

Ключевые слова: национальный доход; функция потребления; обыкновенное дифференциальное уравнение.

Keywords: national income; consumption function; differential equation.

В простых макроэкономических моделях воспроизводства национальных доход как функция от времени  принято брать в качестве основной величины, характеризующей динамику экономического процесса. Обыкновенное дифференциальное уравнение, которое описывает динамику изменения , можно получить из следующего простого закона баланса производства и потребления [1–2; 6].

                                             (1)

где: накопление в момент времени  потребление (мультипликатор) в момент времени  Учитывая, что функции  и  связаны соотношением

                                            (2)

где: капиталоемкость национального дохода (отношение нормы производственных накоплений к темпу прироста национального дохода) или акселератор и подставляя (2) в (1), получим следующее линейное неоднородное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка относительно функции

                                               (3)

Пусть функция потребления  зависит от времени по закону гиперболического косинуса (в работах [3–5] рассмотрены другие законы зависимости от времени)

                (4)

где: постоянная норма производственного накопления,  темп прироста потребления. Подставляя (4) в (3), получим

                       (5)

Как известно, общее решение уравнения (5) имеет вид [7]

                                       (6)

где: общее решение соответствующего однородного уравнения

                                               (7)

а одно частное решение неоднородного уравнения (5). Решение уравнение (7) с разделяющимися переменными имеет вид

                                                    (8)

где: положительную произвольную постоянную  можно определить из начального условия Коши

                                                         (9)

Для нахождения частного решения неоднородного дифференциального (5) воспользуемся методом вариации постоянной, то есть его будем искать в виде

                                                 (10)

где:  пока неизвестная функция. Подстановка (10) в (5) приводит к следующему дифференциальному уравнению первого порядка относительно  

                    (11)

Решая (11) и полученное выражение для  подставляя в (10), получим

                      (12)

Теперь из (7) с учетом (9) и (12) получим общее решение неоднородного дифференциального уравнения (5) в виде

 (13)

Заметим, что решение (13) теряет смысл при  (темп прироста потребления равен технологическому темпу прироста национального дохода). Отметим, что в данном случае, как следует из (11), функция  будет удовлетворять уравнению

                                 (14)

решение которого выражается формулой

                                (15)

Подставляя (15) в (10) и учитывая (9), получим

(16)

Как видно из (13) и (16), в случае, когда функция потребления  меняется по закону гиперболического косинуса, решение дифференциального уравнения относительно функции  является неустойчивым, так как при  

В заключение отметим, что, основываясь на полученные в работе результаты, можно решить аналогичную задачу с учетом инвестиционного временного лага и выяснить характер его влияния на динамику национального дохода.

Список литературы:

1. Аллен Рой Дж. Д. Математическая экономия. Перевод с английского. – М.: Иностранная литература, 1963. – 667 с.

2. Геворкян Э.А. Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, – М.: МЭСИ, 2012. – 79 с.

3. Геворкян Э.А., Макаров Д.П., Питерсен Д.С. Зависимость валового внутреннего продукта от времени в макроэкономической модели Калецкого с учетом инвестиционного временного лага // Научно-практический журнал «Экономика, статистика и информатика. Вестник УМО». – 2014. –№ 2. – С. 58–60.

4. Геворкян Э.А., Мартиросян А.Э. Макроэкономическая модель Калецкого с учетом инвестиционного временного лага // Научно-практический журнал «Экономика, статистика и информатика. Вестник УМО». – 2015. –№ 4. – С. 13–15.

5. Геворкян Э.А., Трофимов М.В., Шукенбаева А.А. Динамика изменения валового внутреннего продукта в макроэкономической модели воспроизводства с учетом временного лага // Научно-практический журнал «Экономика, статистика и информатика. Вестник УМО». – 2012. – № 2. – С. 109–112.

6. Гранберг А.Г. Динамические модели народного хозяйства, 1985. – 240 с.

7. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения. – М.: ЛКИ, 2008. – 320 с.