УНИВЕРСАЛЬНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕМПЕРАТУРНЫХ РЕЖИМОВ КРИОГЕННОГО КОМПОНЕНТА РАКЕТНОГО ТОПЛИВА В БАКЕ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА

Рассмотрим термодинамическое состояние бака объемом V_б, частично заполненного жидким криогенным компонентом. Предположим, что в подушке бака находится пар компонента и сторонний газ. Параметры пара будем обозначать индексом v, стороннего газа — индексом g, а жидкой фазы — индексом l. Будем считать, что через теплоизоляцию и по тепловым мостам в бак поступает переменный во времени интегральный тепловой поток Q. Допустим, что по некоторой циклограмме могут производиться:

- отбор жидкого компонента из бака;

- подача жидкого компонента в бак;

- наддув бака паром компонента;

- заполнение подушки бака сторонним газом;

- отбор паров компонента и газа из подушки бака.

Основное предположение состоит в том, что давление и температура в баке переменны во времени, но постоянны по объему бака. Пространственная однородность температуры и давления являются основными предпосылками рассмотрения процессов в рамках термодинамики, поэтому данную модель можно называть термодинамической.

Рассмотрим термодинамическую систему, состоящую из следующих частей (рисунок 1):

- пар компонента в баке в момент времени t;

- жидкая фаза компонента в баке в момент времени t;

- сторонний газ в баке в момент времени t;

- пар, находящийся в магистрали наддува в интервале времени t…(t + Δt);

- жидкость в магистрали заправки в интервале времени t…(t + Δt);

- сторонний газ в магистрали подачи в интервале времени t…(t + Δt);

- стенка и внутрибаковая арматура.

Рисунок 1. Термодинамическая система бака в моменты времени t и (t+Δt)

Рассматриваемая термодинамическая система является системой с постоянной массой, поэтому первое начало термодинамики для нее имеет вид:

где V — объем рассматриваемой термодинамической системы;

E — ее внутренняя энергия;

p — давление.

Обозначим через c_w суммарную теплоемкость стенки бака и внутрибаковых устройств, через E_l — внутреннюю энергию жидкой фазы компонента топлива, а через E_vg — суммарную внутреннюю энергию паров компонента и стороннего газа. Тогда:

Для внутренней энергии газа и пара в баке можно записать соотношение:

где m_v и ε_v — масса и удельная внутренняя энергия паров компонента;

m_g и ε_g — масса и удельная внутренняя энергия стороннего газа;

G₃ — массовый расход пара, поступающего в бак;

G₆ — массовый расход стороннего газа, поступающего в бак;

 — удельная внутренняя энергия пара, поступающего в бак;

 — удельная внутренняя энергия стороннего газа, поступающего в бак; G₂ — массовый расход газа и пара, покидающего бак;

ρ_g и ρ_v — плотности пара и стороннего газа.

Считая пары топлива и сторонний газ идеальными, запишем:

где c_Vv и c_Vg — теплоемкость при постоянном объеме пара и газа;

T — температура системы;

 и  — константы.

Подставляя формулы (4) и (5) в соотношение (3), получим:

Учитывая баланс массы паров компонента и газа в системе:

преобразуем уравнение (6) к виду:

где G₁ — массовый расход компонента, претерпевающего фазовый переход.

Изменение внутренней энергии жидкости запишем в виде:

где m_l и ε_l — масса и удельная внутренняя энергия жидкого компонента;

G₄ — массовый расход жидкого компонента, отбираемого из бака;

G₅ — массовый расход жидкого компонента, поступающего в бак;

 — удельная внутренняя энергия жидкого компонента, поступающего в бак.

Используя выражение для внутренней энергии жидкого компонента энергии жидкого компонента:

и закон сохранения массы жидкости в системе:

преобразуем выражение (10) к виду:

где c_l — удельная теплоемкость жидкого компонента;

 — константа.

Подставляя выражения (9) и (13) в формулу (2), получим для изменения внутренней энергии системы уравнение:

где C = (m_vc_Vv + m_gc_Vg + m_lc_l + c_w).

Для второго слагаемого в правой части (1) справедливо уравнение:

где  и  — плотности пара и газа, подаваемых в бак;

ρ_l — плотность компонента в жидкой фазе.

Подставляя выражения (14) и (15) в уравнение (1), получим:

В формуле (16) использованы уравнения состояния пара и газа в магистралях подачи в виде:

 и

где R_v и R_g — газовые постоянные пара и газа, соответственно.

В рамках принятых допущений теплота фазового перехода определенным образом зависит от температуры. Запишем выражение для нее в виде:

где i_v и i_l — энтальпии компонента в паровой и жидкой фазах, соответственно; c_Pv = c_Vv + R_v — теплоемкость при постоянном давлении пара.

Из уравнения (17) можно получить:

С учетом соотношения (18) выражение (16) преобразуем к виду:

или

Используя формулу (17), можно получить зависимость теплоты фазового перехода от давления и температуры в баке:

где r* — значение теплоты фазового перехода для некоторых реперных значений давления p* и температуры T*.

Рассмотрим теперь объем бака, занимаемый парами компонента без учета магистралей, по которым пар подается в бак и отбирается из него. Уравнение состояния для паров компонента в баке запишем в виде:

p_v = ρ_vR_vT

где p_v — парциальное давление паров компонента.

Дифференцируя это выражение, получим:

Используя уравнение Клайперона–Клаузиуса для кривой насыщения в форме:

получим:

или

Приращение плотности паров компонента найдем из баланса массы пара в баке:

или

где  — масса паров компонента в баке;

 — объем, занимаемый парами компонента в баке.

Объем бака есть сумма объемов, занимаемых компонентом в паровой и жидкой фазах:

откуда для бака с фиксированным объемом можно получить:

Подставляя уравнение (23) в соотношение (22) и далее — в уравнение (21), получим:

Приравнивая выражения (19) и (25), выразим массовый расход компонента при фазовом переходе в виде:

где

.

Предложена упрощенная модель, описывающая термодинамическое состояние бака ракеты-носителя. Одновременный учет поступающих в бак и удаляемых из бака жидкого или газообразного компонента и/или стороннего газа на различных этапах функционирования позволило записать универсальный алгоритм определения внутрибаковых параметров при любой последовательности сменяющих друг друга режимов эксплуатации бака.

Таким образом, с помощью данной модели появляется возможность проектирования, разработки и отработки различных режимов работы криогенного оборудования на этапах предстартовой подготовки заправки и расхода компонента в период активного участка полёта. К примеру, перспективных РН «Союз – 5», РН «Ангара» и РН «Амур - СПГ» вне зависимости от модификации (жидкий кислород; СПГ), так как модель является обобщённой для любого криогенного компонента.

Также необходимо отметить применение данной модели в преподавании курсах дисциплин, как основы проектирования комплекса систем наземного оборудования и летательных аппаратов, проектирование испытательных стендов ЛА, эксплуатация комплекса летательных аппаратов и систем. А также рекомендуется использовать математическая модель при написании курсовых и/или дипломных проектов.

Список литературы:

1. Усюкин, И.П. Установки, машины и аппараты криогенной техники: Атлас. Ч.1. – М.: Пищевая промышленность, 1976. – 344 с.
2. Архаров, А.М. Криогенные системы: Основы проектирования аппаратов установок: Учебник для вузов по курсу «Криогенная техника» / А.М. Архаров, В.П. Беляков, Е.И. Микулин. – М.: Машиностроение, 1987. – 536 с.
3. Архаров, А.М. Криогенные системы. Основы теории и расчета: Учебник для студентов вузов по специальности «Криогенная техника» / А.М. Архаров, И.В. Марфенина, Е.И. Микулин. – 2-е изд. перераб. и доп. – М.: Машиностроение, 1988. – 576 с.