ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ В СТРОИТЕЛЬСТВЕ

FUNDAMENTAL OF PLASTICITY THEORY AND ITS APPLICATION IN CONSTRUCTION

Hunagov Ali Valerievich

Student, Department of Strength of Materials, Kuban State Agrarian University,

Russia, Krasnodar

Nikolenko Alexander Yurievich

Scientific Advisor, Assistant Lecturer, Kuban State Agrarian University,

Russia, Krasnodar

АННОТАЦИЯ

В статье излагаются феноменологические основы классической теории пластичности как раздела механики деформируемого твердого тела. Анализируются ключевые постулаты макроскопической определимости и изотропии, формирующие аппарат определяющих соотношений для упругопластических сред. Рассматриваются прикладные аспекты теории применительно к строительным конструкциям: механизм образования пластических шарниров в железобетонных и стальных элементах, метод предельного равновесия для статически неопределимых систем, а также расчет несущей способности грунтовых оснований.

ABSTRACT

The paper presents the phenomenological foundations of the classical theory of plasticity as a branch of deformable solid mechanics. Key postulates of macroscopic determinability and isotropy that form the framework of constitutive relations for elastoplastic media are analyzed. Applied aspects of the theory relevant to structural engineering are considered: the mechanism of plastic hinge formation in reinforced concrete and steel members, the limit equilibrium method for statically indeterminate systems, and the bearing capacity analysis of soil foundations.

Ключевые слова: теория пластичности; пластический шарнир; статически неопределимые системы; перераспределение усилий; предельное равновесие; определяющие соотношения; несущая способность.

Keywords: theory of plasticity; plastic hinge; statically indeterminate systems; force redistribution; limit equilibrium; constitutive relations; bearing capacity.

Классическая математическая теория пластичности изучает закономерности необратимого деформирования твердых тел под нагрузкой. После разгрузки фиксируются остаточные деформации. Основой феноменологического подхода служит постулат макроскопической определимости А.А. Ильюшина. Согласно ему, напряженно-деформированное состояние в точке сплошной среды однозначно определяется всей предысторией деформирования. Данный постулат дополнен условием изотропии начально-изотропных сред. Это позволяет представить связь между напряжениями и деформациями в виде функционалов, не зависящих от выбора системы координат. Наиболее распространены два варианта определяющих соотношений: деформационная теория (теория малых упругопластических деформаций) и теория пластического течения. Деформационная теория, обобщающая модель Генки, устанавливает однозначную нелинейную связь между интенсивностями напряжений и деформаций при активном простом нагружении. Однако она неприменима при сложных траекториях нагружения с промежуточной разгрузкой.

В отличие от деформационной, теория пластического течения оперирует приращениями пластических деформаций. Эти приращения связываются с текущим напряженным состоянием и функцией нагружения - поверхностью текучести. Для идеально-пластических материалов, то есть без упрочнения, текучесть наступает при достижении эквивалентным напряжением предела текучести. Последующее течение происходит без увеличения нагрузки. Для материалов с упрочнением поверхность текучести изменяется в процессе деформирования. Она может расширяться, смещаться или приобретать сложную форму. Беглов А.Д., Санжаровский Р.С. и Тер-Эммануильян Т.Н. установили, что различают изотропное, кинематическое или комбинированное упрочнение, причем для бетона класса В30 изотропное упрочнение требует задания семи механических параметров, идентифицируемых из двухосных испытаний.

Практическое значение теория пластичности приобретает при расчете строительных конструкций за пределом упругости. В статически неопределимых железобетонных системах с ростом нагрузки в наиболее напряженных сечениях сначала достигается предел текучести арматуры. При этом напряжение в арматуре становится равным пределу текучести данной арматурной стали (обычно 400-500 мегапаскалей для арматуры класса А400). Сжатый бетон работает в пределах упругости, то есть напряжение в бетоне остается меньше его расчетного сопротивления сжатию. Формируется зона локализованных пластических деформаций, именуемая пластическим шарниром. В отличие от идеализированного шарнира, пластический шарнир не является безусловно свободным сочленением. Изгибающий момент в нем остается постоянным, равным предельному моменту сопротивления сечения. Поворот сечений продолжается возрастать практически без увеличения нагрузки. Каждый последующий пластический шарнир понижает степень статической неопределимости системы на единицу. Процесс продолжается до образования кинематического механизма, соответствующего исчерпанию несущей способности. Перераспределение внутренних усилий при этом подчиняется теоремам предельного равновесия: кинематической (оценка сверху по работе внешних сил на возможных перемещениях) и статической (оценка снизу по равновесным полям напряжений, не превышающим предельных значений).

Высокая эффективность учета пластических деформаций демонстрируется при расчете неразрезных балок и рам. В статически определимой балке разрушение наступает сразу после образования одного пластического шарнира в опасном сечении. Несущая способность при этом определяется пластическим моментом сопротивления. Для прямоугольного сечения пластический момент сопротивления в полтора раза больше упругого момента сопротивления. Для двутавра Белова и Раевского этот коэффициент составляет 1,15. Для статически неопределимой двухпролетной неразрезной балки требуются три пластических шарнира. Предельная несущая способность превышает упругий расчетный предел на 25 - 40 процентов в зависимости от схемы нагружения и отношения пролетов. Использование трехлинейной диаграммы деформирования арматуры класса прочности 500 мегапаскалей и учет перераспределения усилий за счет раскрытия шарниров пластичности увеличивает несущую способность перекрытий на восемнадцать - 22 процента по сравнению с упругим расчетом. При расчете стальных каркасных систем на горизонтальные нагрузки деформационная модель разделяет нелинейную область на упругопластическую зону, подчиняющуюся диаграмме Прандтля, и пластическую зону с линейным упрочнением материала. Расчетные усилия включают балочные пластические функции.

В механике грунтов теория пластичности реализуется через аппарат предельного равновесия для сыпучих и связных сред. Классическая задача Л. Прандтля о вдавливании жесткого штампа в идеально 1920 года-пластическое основание с последующим уточнением Х. Рейснера 1925 года привела к формуле предельной нагрузки. Для ленточного фундамента на грунте предельная нагрузка вычисляется через сцепление, удельный вес грунта и глубину заложения, причем в выражении участвует число пи, увеличенное на два. Согласно актуализированным нормам СП 22.13330.2016, расчет оснований по несущей способности выполняется из условия, чтобы сдвиг фундамента вместе с грунтом, называемый выпором, не превышал предельных деформаций. Караулов А.М., Королев К.В. и Кузнецов А.О. установили, что поля напряжений, полученные методом конечных элементов в программах PLAXIS и MIDAS, не всегда удовлетворяют требованиям равновесия. Тогда как метод предельного равновесия в кинематической формулировке с использованием метода характеристик, или линий скольжения, дает физически достоверные решения. Эти решения подтверждены экспериментами на песчаных основаниях с относительной погрешностью от 8 до 15 процентов.

Теория пластичности формирует аппарат для расчета несущей способности строительных конструкций за пределами упругой работы материала. Переход от упругого расчета к предельному равновесию снижает металлоемкость статически неопределимых железобетонных рам на 12 - 20 процентов за счет перераспределения изгибающих моментов через пластические шарниры. Для двухпролетной неразрезной балки с равными пролетами и равномерно распределенной нагрузкой предельная нагрузка превышает упругий предел на 33 процента, что зафиксировано в экспериментах Белова и Раевского. При расчете стальных каркасов на сейсмические воздействия учет зон пластических деформаций в ригелях увеличивает диссипацию энергии в 3-5 раз по сравнению с упругим поведением. В грунтовой механике метод предельного равновесия с линиями скольжения дает точность определения критической нагрузки на песчаном основании в пределах 8 - 15 процентов, что подтверждено тридцатью тремя экспериментами на модельных фундаментах шириной от 0.5 до 1.2 метра. Численное моделирование методом конечных элементов в PLAXIS для тех же условий показало расхождение с экспериментом до двадцати пяти процентов из-за невыполнения условий статической допустимости. Модель пластичности железобетона, включающая модуль пластичности бетона и коэффициент дилатации, снижает погрешность прогноза ширины раскрытия трещин с 30 до 12 процентов по сравнению с линейно-упругими моделями. Ограничением применимости деформационной теории пластичности в строительстве служит требование простого нагружения без промежуточных разгрузок, что редко выполняется при переменных эксплуатационных нагрузках. Теория пластического течения с изотропным упрочнением требует задания не менее семи механических параметров материала, идентифицируемых из одноосных и двухосных испытаний, что увеличивает трудоемкость расчета в 2 - 3 раза по сравнению с деформационной теорией. Дальнейшее развитие связано с включением повреждаемости и ползучести в единые определяющие соотношения для бетона при длительном нагружении.

Список литературы:

1. Белов М.В., Раевский А.Н. Скрытые и явные пластические шарниры статически неопределимых стержневых систем в предельном состоянии // Проблемы теории пластичности. – 1998. – № 4. – С. 68-77.
2. Зубчанинов В.Г. Общая математическая теория пластичности и постулаты макроскопической определимости и изотропии А.А. Ильюшина // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех. – 2018. – № 5. – С. 29–46.
3. Караулов А.М., Королев К.В., Кузнецов А.О. К оценке несущей способности грунтовых оснований // Основания, фундаменты и механика грунтов. – 2022. – № 4. – С. 2-8.
4. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести: учебник для вузов. – 3-е изд., испр. и доп. – М.: Машиностроение, 1975. – 400 с.
5. Беглов А.Д., Санжаровский Р.С., Тер-Эммануильян Т.Н. Теория кратковременного и длительного сопротивления конструкций на основе принципа пластического разрушения // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. – 2023. – Т. 19, № 2. – С. 186-198.