ПАРАДОКС ДНЕЙ РОЖДЕНИЯ И ЕГО КРИПТОГРАФИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ: ВЕРОЯТНОСТНЫЙ АНАЛИЗ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ АТАК НА ХЕШ-ФУНКЦИИ

​THE BIRTHDAY PARADOX AND ITS CRYPTOGRAPHIC APPLICATIONS: PROBABILISTIC ANALYSIS AND MATHEMATICAL FOUNDATIONS OF ATTACKS ON HASH FUNCTIONS

Litvinovich Andrei Valerievich

Student, Faculty of Engineering and Economics, Belarusian State University of Informatics and Radioelectronics,

Belarus, Minsk

Chumakov Maksim Sergeevich

Student, Faculty of Engineering and Economics, Belarusian State University of Informatics and Radioelectronics,

Belarus, Minsk

Fedosiuk Liudmila Petrovnа

Senior Lecturer, department of economic informatics, Belarusian State University of Informatics and Radioelectronics,

Belarus, Minsk

АННОТАЦИЯ

В статье рассматривается парадокс дней рождения как ключевое вероятностное явление, демонстрирующее быстрое возрастание вероятности совпадений в конечных выборках. Показано математическое обоснование парадокса, включая анализ перестановочных моделей, экспоненциальных оценок и асимптотического поведения вероятности коллизий. Отмечается, что те же вероятностные механизмы лежат в основе криптографических атак на хеш-функции (атака дня рождения), приводящих к снижению их эффективной стойкости. Рассматриваются последствия для оценки безопасности криптографических систем, подчеркивая фундаментальную роль теории вероятностей в анализе киберугроз.

ABSTRACT

The article considers the birthday paradox as a key probabilistic phenomenon demonstrating a rapid increase in the probability of coincidences in the final samples. A mathematical justification of the paradox is shown, including an analysis of permutation models, exponential estimates, and the asymptotic behavior of the collision probability. It is noted that the same probabilistic mechanisms underlie cryptographic attacks on hash functions (the birthday attack), leading to a decrease in their effective strength. The implications for assessing the security of cryptographic systems are considered, emphasizing the fundamental role of probability theory in analyzing cyber threats.

Ключевые слова: парадокс дней рождения, распределение, хеш-функция, коллизия, атака дня рождения, комбинаторика, вероятностная модель, криптографическая стойкость.

Keywords: birthday paradox, distribution, hash function, collision, birthday attack, combinatorics, probabilistic model, cryptographic strength.

Парадокс дней рождения является одним из тех результатов теории вероятностей, который, несмотря на элементарность постановки, раскрывает глубокие свойства случайных выборок, их тенденции к образованию кластеров и возникающих при большом числе испытаний закономерностей.

Рассмотрим классическую задачу: имеется пространство событий мощности M, которое при описании дней рождения обычно принимается равным 365. Предполагается, что каждый день года выбирается независимо и равновероятно из множества {1, 2, …, 365}. Пусть в выборке присутствуют n независимых наблюдений. Вероятность того, что все n значений различны, задается формулой:

при этом вероятность хотя бы одного значения равна:

Данная формула является фундаментальной, поскольку отражает структуру перестановок без повторений в конечном множестве. Она естественным образом обобщается на всевозможные модели равномерного выбора, что напрямую связывает задачу с классическими результатами комбинаторного анализа, в частности с количеством размещений без повторений.

Применение экспоненциального приближения через неравенство 1 – x ≤ e ^-x позволяет получить асимптотическую оценку:

и, следовательно:

условие  приводит к квадратичному уравнению относительно n:

тогда:

В частности, при M = 365, получаем , что соответствует следующему факту: в группе из 23 человек вероятность совпадений дней рождения превышает 50%. Однако ключевой статистический механизм в данном случае – квадратичный рост числа пар наблюдений, равный . С увеличением числа объектов количество потенциальных «точек соприкосновения» растет существенно быстрее, чем линейно, что и разрушает повседневную человеческую интуицию, основанную на предположении о независимости событий, рассматриваемых изолированно.

Это же вероятностное явление, будучи следствием принципа Дирихле и комбинаторного роста количества пар, оказывает фундаментальное влияние на криптографию, а именно – стойкость хеш-функций и механизмов проверки целостности. Пусть существует криптографическая хеш-функция , где пространство выходов Y имеет мощность . Задача поиска коллизий состоит в нахождении двух различных сообщений , таких что .

При предположении о случайности отображения для успешного нахождения коллизии требовалось бы исследовать все  возможных хешей, однако вероятностная модель показывает, что коллизия возникает существенно раньше. Если злоумышленник генерирует n случайных сообщений и вычисляет их хеши, то вероятность того, что среди хешей появится совпадение, аналогична вероятности совпадения дней рождения, где дни рождения соответствуют хеш-значениям, а люди – сообщениям. Отсюда получаем оценку сложности атаки:

Данная оценка составляет основу атак дней рождения. Важно подчеркнуть, что эта оценка является не приближением сверху, а естественным следствием фундаментальных статических закономерностей: для достижения вероятности коллизии порядка 1/2 требуется порядка выборок.

Таким образом, хеш-функция длиной l = 160 бит (например, SHA-1) обладает эффективной стойкостью против коллизий примерно 20⁸⁰, а не 20¹⁶⁰, что в конечном счете привело к ее криптографическому устареванию.

Дополнительно усложняет ситуацию тот факт, что многие реальные атаки используют не просто случайное перечисление сообщений, а структурированные методы построения двух контролируемых сообщений, среди которых затем ищется совпадение в некоторых частях внутреннего состояния хеш-функции. Тем самым атакующий снижает практическую сложность атаки по сравнению с теоретической, используя как вероятностные, так и алгоритмические оптимизации. Примером является построение “chosen-prefix collisions”, где задача сводится к нахождению двух сообщений с заданными префиксами. Для таких операций также применяется вероятностная модель, аналогичная классическому парадоксу, но усложненная с точки зрения внутренней структуры преобразований.

Следует отметить, что и в теории, и на практике решающую роль играет возможность злоумышленника генерировать большое число вариантов входных данных. В отличие от задачи нахождения второго предобраза (префикса), где фиксируется исходное сообщение m, атака дня рождения требует лишь поиска любой коллизии, что делает задачу статистически более удобной. С точки зрения вероятностей это отражает различие между задачами однопараметрического поиска (один фиксированный элемент) и многопараметрического поиска (любой элемент пространства), где второй тип задач всегда решается существенно быстрее при одинаковых параметрах пространства.

Парадокс также имеет связь с экспоненциально малыми вероятностями и концентрацией меры. В частности, можно показать, что распределение числа коллизий стремится к закону Пуассона при больших значениях M и малых отношениях n/M. Пусть случайная величина X обозначает число коллизий среди n выборок. Тогда при  математическое ожидание числа коллизий равно:

применяя классические результаты для редких событий, можно приблизительно считать:

этот факт еще глубже связывает парадокс дней рождения с общей структурой вероятностных моделей в математической статистике.

Криптографические последствия проведенного анализа определяются тем, что для обеспечения стойкости уровня  необходим выбирать хеш-функции длиной 2k бит. Большинство современных алгоритмов, таких как SHA-256, проектировались именно с учетом парадокса дней рождения, поскольку стойкость порядка 2¹²⁸ считается достаточной для практических применений с точки зрения вычислительной техники. При этом в перспективе развития квантовых технологий обсуждается возможность существования квантовых алгоритмов, способных снижать сложность коллизионных атак с  до порядка , что вновь подчеркивает фундаментальность вероятностных методов в оценке реальной стойкости систем.

Таким образом, парадокс дней рождения, будучи изначально задачей комбинаторики и классической вероятности, обладает глубокой междисциплинарной ценностью. Связь между поведением случайных выборок, квадратичным ростом числа взаимодействий и возникновением коллизий напрямую переносится в область кибербезопасности, где нарушение уникальности хеш-значений может приводить к подделке цифровых подписей, модификации целостности файлов и компрометации криптографических схем. Теория вероятностей в данном контексте выступает не как абстрактная дисциплина, а как инструмент строгого анализа угроз, позволяющий математически оценивать риски и необходимы параметры защиты, что в полной мере демонстрирует важность фундаментальных математических методов для решения прикладных задач современного цифрового мира.

Парадокс дней рождения является одним из наиболее наглядных примеров того, как глубокие математические закономерности могут определять практическую безопасность цифровых систем. Вероятностный анализ показал, что вероятность коллизии растет не линейно, а квадратически по числу испытаний, что приводит к существенному снижению фактической стойкости хеш-функций в задачах поиска совпадений. Именно это обстоятельство лежит в основе криптографических атак дня рождения, которые представляют собой применение математической теории вероятностей в ее наиболее чистом виде.

Криптографические механизмы не могут рассматриваться без строгого учета вероятностных моделей и асимптотических оценок, а надежность систем безопасности напрямую зависит от корректного выбора размеров пространств, в которых вероятность коллизий становится пренебрежимо малой.

Список литературы:

1. The birthday paradox in cryptology / Mile Seitlheko // African Institute for Mathematical Sciences, 2010
2. The complexity of finding collisions with birthday paradox / European information technologies certification academy [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://eitca.org/cybersecurity/eitc-is-acc-advanced-classical-cryptography/hash-functions/sha-1-hash-function/examination-review-sha-1-hash-function/how-does-the-birthday-paradox-relate-to-the-complexity-of-finding-collisions-in-hash-functions-and-what-is-the-approximate-complexity-for-a-hash-function-with-a-160-bit-output/ (дата обращения 07.11.2025)
3. Using probability to understand the Birthday Paradox [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://www.scientificamerican.com/article/bring-science-home-probability-birthday-paradox/ (дата обращения 08.11.2025)
4. Birthday attack [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://www.math.columbia.edu/~goldfeld/BirthdayAttack.pdf (дата обращения 08.11.2025)
5. The birthday paradox / Andreas Klappenecker // Texas A&M University
6. What is a Birthday attack [Электронный ресурс]. – Режим доступа: twingate.com/blog/glossary/birthday%20attack (дата обращения 03.11.2025)