НЕЧЁТКИЕ МНОЖЕСТВА КАК ИНСТРУМЕНТ ИНВЕСТИЦИОННОГО АНАЛИЗА В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТИ

FUZZY SETS AS A TOOL FOR INVESTMENT ANALYSIS UNDER UNCERTAINTY

Marchenko Daria Vladimirovna

Student, Department of Economic Informatics, Belarusian State University of Informatics and Radioelectronics,

Republic of Belarus, Minsk

Solodilova Maria Konstantinovna

Scientific supervisor, Master of Economics, Department of Economic Informatics, Belarusian State University of Informatics and Radioelectronics,

Republic of Belarus, Minsk

АННОТАЦИЯ

В статье рассматривается применение теории нечётких множеств для оценки инвестиционных проектов в условиях неопределённости. В основе подхода лежат понятия нечёткого числа и функции принадлежности, которые позволяют переводить качественные экспертные суждения в числовую форму без потери смысловых оттенков. Описана процедура взвешенной агрегации оценок и приведения итогового показателя к чёткому значению методом центра тяжести. Применение этой процедуры на примере сравнения двух инвестиционных проектов по четырём критериям показывает, что метод даёт обоснованный и однозначный результат даже при качественном характере исходных данных.

ABSTRACT

The article examines the application of fuzzy set theory to investment project evaluation under uncertainty. The approach is based on the concepts of fuzzy number and membership function, which allow qualitative expert judgments to be converted into numerical form without losing their nuance. A procedure for weighted aggregation of assessments and defuzzification via the centroid method is described. Applying this procedure to a comparison of two investment projects across four criteria demonstrates that the method produces a well-grounded and unambiguous result even when the input data are qualitative in nature.

Ключевые слова: нечёткие множества; функция принадлежности; инвестиционный анализ; неопределённость; многокритериальная оценка; лингвистические переменные.

Keywords: fuzzy sets; membership function; investment analysis; uncertainty; multi-criteria evaluation; linguistic variables.

Инвестиционный анализ в реальных условиях хозяйственной деятельности редко располагает полным набором точных числовых данных. Значительная часть показателей, определяющих привлекательность проекта, формируется на основе экспертных суждений, которые по своей природе приближённы и неоднозначны. Традиционные вероятностные методы, требующие достаточной статистической базы, при её отсутствии приводят к существенным погрешностям. В таких ситуациях продуктивным инструментом становится теория нечётких множеств, предложенная американским математиком Лотфи Аскером Заде в 1965 году [1, с. 338]. Она позволяет работать с размытыми значениями, не прибегая к искусственному огрублению экспертной информации.

Центральным понятием теории является функция принадлежности, которая сопоставляет каждому элементу рассматриваемого множества число от нуля до единицы. Оно отражает степень соответствия этого элемента некоторому нечётко определённому понятию [2, с. 13]. Классическая логика оперирует бинарной принадлежностью: элемент либо принадлежит множеству, либо нет. Нечёткая логика допускает промежуточные степени принадлежности, что делает её пригодной для описания качественных категорий без чётких количественных критериев.

На базе функции принадлежности строятся нечёткие числа. В инвестиционном анализе наибольшее распространение получила треугольная форма, когда нечёткое число задаётся тремя параметрами: нижней границей, наиболее вероятным значением и верхней границей. Для перевода качественных суждений в нечёткие числа используется аппарат лингвистических переменных: для оценок «низкий», «средний», «высокий» подбираются треугольные числа с плавно возрастающими значениями каждой из трёх компонент.

Когда проект необходимо оценить по нескольким критериям одновременно, частные нечёткие оценки объединяются в единый интегральный показатель методом взвешенной агрегации. Каждому критерию назначается вес, отражающий его относительную значимость, после чего взвешенные нечёткие оценки суммируются покомпонентно. Результат агрегирования также является треугольным нечётким числом и вычисляется по формуле:

S̃ = Σ wᵢ · Ãᵢ                                                                                                 (1)

w_i — вес i-го критерия;

Ãᵢ — нечёткая оценка проекта по i-му критерию.

Вычисление компонент результирующего числа производится взвешенным суммированием соответствующих компонент входных оценок [3, с. 45].

Для окончательного сравнения альтернатив нечёткий интегральный показатель необходимо привести к одному числу. Эта операция называется дефаззификацией. Среди различных подходов к дефаззификации в задачах многокритериального выбора широко используется метод центра тяжести: чёткое значение определяется как среднее арифметическое трёх параметров треугольного нечёткого числа. Метод корректно учитывает все три параметра и даёт непрерывную, монотонную зависимость от входных оценок, что делает его пригодным для ранжирования инвестиционных альтернатив.

Описанная процедура сводится к следующим шагам: лингвистическая оценка проектов по критериям, перевод суждений в нечёткие числа по установленной шкале, взвешенная агрегация, дефаззификация и последующее ранжирование альтернатив по чётким значениям.

Для проверки описанного подхода рассмотрим сравнение двух инвестиционных проектов по четырём критериям: доходность, уровень риска, срок окупаемости и стратегическое соответствие целям организации. Экспертная группа назначила критериям веса 0,35, 0,25; 0,20 и 0,20 соответственно. Для перевода лингвистических суждений в числовую форму принята единая шкала треугольных нечётких чисел, согласно которой более предпочтительному значению критерия соответствует более высокое число. Наилучший результат получает (0,6; 0,8; 1,0), средний – (0,3; 0,5; 0,7), наихудший – (0,0; 0,2; 0,4). Такая шкала применяется ко всем критериям с учётом их содержательной логики. Оценки экспертов и соответствующие им нечёткие числа приведены в таблице 1.

Таблица 1.

Нечёткие оценки проектов по критериям

По результатам взвешенной агрегации по формуле (1) интегральный нечёткий показатель первого проекта составил (0,405; 0,605; 0,805), второго проекта – (0,300; 0,500; 0,700). После дефаззификации методом центра тяжести чёткое значение для первого проекта равно 0,605, для второго проекта – 0,500. По совокупности четырёх критериев первый проект получает более высокую итоговую оценку и признаётся предпочтительным.

Преимущество первого проекта обеспечивается прежде всего высокой доходностью, которой присвоен наибольший вес в модели. Второй проект выигрывает по сроку окупаемости, однако низкое стратегическое соответствие существенно снижает его итоговую оценку. Поскольку оценки зависят от экспертной группы и выбора весов, а взаимосвязь критериев не учитывается, окончательное решение должно опираться также на ограничения по финансированию и стратегический контекст.

Применение нечётких множеств в инвестиционном анализе допускает расширение за счёт использования трапециевидных функций принадлежности, введения большего числа лингвистических градаций, а также перехода к более сложным операторам агрегирования, учитывающим взаимодействие критериев. Ключевое преимущество подхода остаётся неизменным: математически корректная обработка качественных экспертных суждений без их искусственного сведения к точечным оценкам.

Список литературы:

1. Zadeh L.A. Fuzzy sets // Information and Control. – 1965. Vol. 8. № 3. – P. 338–353.
2. Назаров Д. М., Конышева Л. К. Интеллектуальные системы: основы теории нечетких множеств : учебное пособие для вузов. – 3-е изд., испр. и доп. – Москва : Юрайт, 2023. – 186 с.
3. Борисов А.Н., Крумберг О.А., Федоров И.П. Принятие решений на основе нечётких моделей: примеры использования. – Рига : Зинатне, 1990. – 184 с.