МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РЕАЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ: МЕТОД АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ

Хвостиков Александр

1 курс, ГОБУ СПО ВО «СГТЭК», г. Семилуки

Евдокимова Марина Дмитриевна

научный руководитель, преподаватель высшей категории, преподаватель математики, ГОБУ СПО ВО «СГТЭК», г. Семилуки

Очень часто перед человеком стоит выбор: куда пойти учиться, какой фирмы купить компьютер или другой товар, как выбрать имя ребенку и многое другое. И иногда, остановившись на нескольких вариантах, сделать такой выбор очень сложно.

Я хотел бы представить свою работу «Математические модели реальных процессов: метод анализа иерархий».

Этот метод относится к теме «системный анализ».

Системный анализ, чьи основы являются достаточно древними, — все же сравнительно молодая наука. Системный анализ имеет применение в любой предметной области.

Эта наука, как и любая другая, ставит своей целью исследование новых связей и отношений объектов и явлений. Но основной проблемой системного анализа является исследование связей и отношений таким образом, чтобы изучаемые объекты стали бы более доступными для управления и изучения.

«Само слово «система» (организм, строй, целое, составленное из частей) возникло в Древней Греции около 2000 лет назад.

А наибольший вклад в зарождение и развитие системного анализа, системного мышления внесли такие ученые, как: Аристотель, Платон, Р. Декарт, Ф. Бэкон, И. Кант, И. Ньютон, Ф. Энгельс, А.И. Берг, А.А. Богданов, Н. Винер, Л. Берталанфи, Ч. Дарвин, И. Пригожин, Э. Эшби, А.А. Ляпунов, Н.Н. Моисеев и другие» [1, с. 10].

Метод анализа иерархий разработан в 70-х годах XX века американским математиком Томасом Саати (Thomas L. Saaty).

На русском языке метод анализа иерархий подробно описан в его книгах: Т. Саати. «Принятие решений. Метод анализа иерархий» (1993) и Т. Саати, К. Кернс. «Аналитическое планирование. Организация систем» (1991).

В основе этого метода лежит серьезный математический аппарат, но понять основы можно и не обладая глубокими познаниями в математике.

Метод анализа иерархий позволяет произвести выбор необходимого товара или услуги, используя парные сравнения между собой альтернатив и их характеристик.

Под альтернативами понимаются различные варианты выбора, то есть, то из чего мы выбираем. Например, в нашей задаче, альтернативы — это модели ноутбуков, между которыми мы выбирали.

Под характеристиками понимаются различные значимые для выбора свойства альтернатив.

При решении задачи, на первом этапе, я выбрал для себя пять моделей ноутбуков, наиболее понравившихся мне, но окончательный выбор, между которыми сделать так и не смог. И для каждой модели выделил наиболее важные характеристики — процессор, ОЗУ, жесткий диск, размер экрана и цена.

Следующий этап метода анализа иерархий — определение степени важности характеристик. При сравнении, одни из них могут быть важнее, чем другие и задача метода определить степень важности каждого. Для ноутбуков, например, размер жесткого диска, может быть гораздо важнее, чем размер ОЗУ. А может быть и все наоборот, ведь все зависит от человека, который делает выбор.

Для определения степени важности производят парные сравнения всех характеристик между собой по шкале от 1 до 9.

Таблица 1.

Шкала парных сравнений [4]

При сравнении двух характеристик А и Б, что соответствует вопросу «Что важнее А или Б, и на сколько ?», на этой шкале значение 5 обозначает, что Б намного важнее, чем А. Значение 1/5 — что, наоборот, А намного важнее, чем Б. Значение 1, обозначает, что А и Б одинаково важны. Результаты записываем в матрицу парных сравнений.

Затем для определения относительной ценности каждой характеристики я провел вычисления по следующим формулам.

«Сначала вычисляем геометрическое среднее:

 Полученные числа необходимо нормализовать.

Для этого определяем нормирующий множитель r:

r =ω₁ +ω₂ +ω₃ + ………+ ω_n. (2)

 И каждое из чисел ω_i делим на r:

q_i = ω_i/r, (i = 1,2,3,…,n). (3)

 В результате получаем вектор приоритетов:

 q = (q₁, q₂, q₃, …..q_n). (4)

Затем вычисляем индекс согласованности ИС для всей иерархии.

Определяем сумму каждого j-го столбца матрицы суждений:

s_j = а_1j + а_2j+ а_3j + … + а_{n j}, j=1,2,3,…,n (5)

 Затем полученный результат умножается на j-ю компоненту нормализованного вектора приоритетов q_i:

р_j= s_j·q_ij, j=1,2,3, ……, n. (6)

Сумма чисел р_j отражает пропорциональность предпочтений, чем ближе эта величина к n (числу объектов и видов действия в матрице парных сравнений), тем более согласованны суждения:

 λ_max = р₁+р₂+р₃+ ……+р_n. (7)

Отклонение от согласованности выражается индексом согласованности:

 Отношение индекса согласованности ИС к среднему значению случайного индекса согласованности СИ называется отношением согласованности ОС:

Значения СИ берем из таблицы 2:

Таблица 2.

СИ

Значение ОС меньше или равное 0,10 считается приемлемым» [3]

На следующем этапе метода я произвел парные сравнения всех альтернатив по каждой из характеристик.

Для сравнений использовал все, ту же шкалу от 1 до 9. После получения всех ответов, данные, также обрабатываются по представленным выше формулам и составляются векторы приоритетов каждой альтернативы по отдельным характеристикам.

На последнем этапе, основываясь на иерархии альтернатив, подсчитываем глобальные приоритеты выбора, умножая вектор приоритетов характеристик и вектор приоритетов каждой альтернативы. И в ответ выбирается та альтернатива (модель) которая получила наибольший результат.

Таким образом, математически вычисляется осознанный выбор человека.

Все вычисления нашей задачи я производил в Excel с помощью формул и на последнем этапе при подсчете глобальных приоритетов, отдельно указывается полученный наибольший результат и соответствующая ему альтернатива. Данное решение также можно легко реализовать с помощью языка программирования VBA.

На примере решенной задачи можно сделать вывод, что метод анализа иерархий — эффективный и доступный нематематику метод; метод легко реализуется в электронных таблицах и не требует больших затрат.

Метод анализа иерархий — математический инструмент системного подхода к сложным проблемам принятия решений. Он не предписывает лицу, принимающему решение, какого-либо «правильного» решения, а позволяет ему найти такой вариант решения, который наилучшим образом согласуется с его пониманием сути проблемы.

В его основе наряду с математикой заложены и психологические аспекты. Метод позволяет понятным и рациональным образом структурировать сложную проблему принятия решений в виде иерархии, сравнить и выполнить количественную оценку альтернативных вариантов решения.

Метод анализа иерархий используется во всем мире для принятия решений в разнообразных ситуациях: от управления на межгосударственном уровне до решения отраслевых и частных проблем в бизнесе, промышленности, здравоохранении и образовании.

«Перечислим примеры задач, для которых возможно применение «Метода анализа иерархий»:

1.  выбор руководителем фирмы будущего делового партнера;

2.  рациональное распределение доходов предприятия по отраслям;

3.  отбор лучших претендентов на рабочие места фирмы;

4.  выбор программного обеспечения для нужд фирмы;

5.  оценка культурных ценностей (картин, скульптур и т. д.);

6.  выбор наилучшей конструкции (варианта) технического изделия;

7.  покупка квартиры, дачи, участка, автомобиля;

8.  выбор будущего учебного заведения для ребенка;

9.  выбор будущего рабочего места.

Список возможных задач можно продолжить» [1. с. 12].

Уникальность метод анализа иерархий состоит в том, что разные люди в одной и той же задаче могут получить разные результаты, просто по той причине, что все зависит от личного выбора человека, от его предпочтений.

Список литературы:

1.Абакаров А.Ш., Сушков Ю.А. Об одном комплексном подходе к принятию рациональ-ных решений // Тезисы Шестого Всероссийского симпозиума по прикладной и промыш-ленной математике. 2005.

2. Казиев В.М. Введение в анализ, синтез и моделирование систем — М.: Интернет-Университет Информационных Технологий: БИНОМ. Лаборатория знаний,2006. — 244 с.

3.Кацман В.Е., Косорукова И.В., Родин А.Ю., Харитонов С.В. Основы оценочной стоимости// учебник. — 3-е издание, переработанное и дополненное. — [Электронный ресурс] — Режим доступа. — URL: http://alt-x.narod.ru/0912ood.htm (дата обращения 15.02.13)

4.«Разработка предложений по формированию оптимальной стратегии предприятия». [Электронный ресурс] — Режим доступа. — URL: http://studentbank.ru (дата обращения 15.02.13).