МЕТОДИКА РАСЧЕТА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ КАК РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ

​METHOD FOR CALCULATING THE STRESS-STRAIN STATE AS A SOLUTION TO THE NON-LINEAR ELASTICITY PROBLEM

Zakrevsky Ivan Andreevich

Master's Student, Togliatti State University,

Russia, Togliatti

Karibyan Avik Onikovich

Master's Student, Togliatti State University,

Russia, Togliatti

Gulyaev Vadim Anatolyevich

Scientific supervisor, Candidate of Technical Sciences, Associate Professor of the Department of Equipment and Technologies of Mechanical Engineering Production, Togliatti State University,

Russia, Togliatti

АННОТАЦИЯ

В статье при изучении нелинейного поведения твердых тел при взаимодействии множества физических полей на основе математического анализа энергии деформации и тензора деформации было принято несколько различных определений тензора деформации. Показано, что большие деформации приводят к значительным изменениям конфигурации твердых тел, а последующие изменения в системе координат связаны со многими переменными, включая, деформацию, напряжение и нормаль к поверхности. При выборе соответствующей системы координат эти переменные были определены и модифицированы с учетом больших деформаций. Были предложены и использованы различные нелинейные тензоры деформации для решения различных задач и предоставлены альтернативные формулировки нелинейной упругости.

ABSTRACT

In the article, several different definitions of the deformation tensor were adopted when studying the nonlinear behavior of solids under the interaction of multiple physical fields based on the mathematical analysis of the deformation energy and the deformation tensor. It was shown that large deformations lead to significant changes in the configuration of solids, and subsequent changes in the coordinate system are associated with many variables, including deformation, stress, and surface normal. By selecting an appropriate coordinate system, these variables were defined and modified to account for large deformations. Various nonlinear deformation tensors were proposed and used to solve different problems, and alternative formulations of nonlinear elasticity were provided.

Ключевые слова: напряженно-деформируемое состояние, нелинейная упругость, тензор деформации Коши, тензор деформации Грина, твердое тело.

Keywords: stress-strain state, nonlinear elasticity, Cauchy deformation tensor, Green deformation tensor, solid body.

Теория нелинейной упругости имеет долгую историю, в которую внесли свой вклад великие математики, включая Эйлера, Лагранжа, Коши и многих других, и которая нашла важное применение в технике и технологиях [1]. Сложные уравнения, необходимые для анализа напряжений в упругих телах, были предметом обширных исследований на протяжении многих лет, и были разработаны эффективные и действенные систематические процедуры для решения этих уравнений. В последнее время быстрый рост вычислительной техники и численных методов также гарантировал точные и надежные решения. При формулировке нелинейных статических и динамических задач, связанных с упругими телами, наиболее широко используемая форма нелинейного тензора деформации, а именно тензор деформации Грина, определяется через градиент деформации. Другой нелинейный тензор деформации, тензор деформации Эйлера-Альманси, также определяется аналогичным образом. В настоящее время установлено, что на основе линейного тензора деформации Коши и с учетом изменений координатной системы при конечных деформациях может быть последовательно определен новый нелинейный тензор деформации, отличающийся от ранее известных нелинейных тензоров деформации. Этот новый тензор деформации, нелинейный тензор деформации Коши, предлагает новую формулировку нелинейной упругости в дополнение к существующим нелинейным тензорам деформации.

Тензор деформации Коши определяется в простой и элегантной форме как одна из фундаментальных переменных в линейной теории упругости и служит основой для анализа напряжений и деформаций упругих твердых тел, таких как стержни и балки. Однако в машиностроении и строительной инженерии в условиях экстремальных нагрузок, когда необходимо учитывать большие деформации и связь физических полей, определения деформации, а следовательно, и напряжений, и конститутивных соотношений, должны быть расширены до нелинейных форм. В этом случае необходимо обратиться к нелинейной теории упругости, основанной на тензорах деформации Грина, Грина-Лагранжа или Грина-Коши, а также на соответствующих уравнениях и методах решения [2]. Такой подход также недавно оказался необходимым при исследовании упругого поведения мягких материалов, например, биологических.

При изучении нелинейного поведения твердых тел при взаимодействии множества физических полей на основе математического анализа энергии деформации и тензора деформации было принято несколько различных определений тензора деформации. Это является следствием того, что большие деформации приводят к значительным изменениям конфигурации твердых тел, а последующие изменения в системе координат связаны со многими переменными, включая, помимо прочего, деформацию, напряжение и нормаль к поверхности. При выборе соответствующей системы координат эти переменные могут быть определены и модифицированы с учетом больших деформаций. Давно известно, что возможны множественные определения тензоров деформации и, следовательно, напряжения, и существуют известные определения [3]. Были предложены и использованы различные нелинейные тензоры деформации для решения различных задач, которые и предоставили альтернативные формулировки нелинейной упругости для работы со все более сложными материалами и нагрузками. В исследовании напряжений и деформаций в сильно нелинейных материалах обнаружено, что на основе тензора деформации Коши из линейной теории упругости можно последовательно определить новый нелинейный тензор деформации.

Процесс получения одного и того же нелинейного тензора деформации Коши с помощью двух различных процедур показывает, что нелинейный тензор деформации Коши согласуется с определением энергии деформации и нелинейным определением тензора деформации Коши из теории линейной упругости, тем самым подтверждая, что новый нелинейный тензор деформации является нелинейным тензором деформации Коши [4]. Эта форма нелинейного тензора деформации Коши согласуется с тензором напряжений Коши, полученным из определения энергии деформации при больших деформациях, что дает выражению для энергии деформации простую и согласованную форму, как в случае линейной упругости. Если используется тензор деформации Грина, то тензор деформации, используемый в тензоре напряжений, и соответствующие градиенты смещения различны, вследствие чего изменения в тензоре деформации и выражении для энергии деформации отличаются от определений в линейном случае.

Поскольку формулировка задач нелинейной упругости с использованием тензора деформации Грина уже широко представлена во многих источниках по теории нелинейной упругости, аналогичная процедура для формулировки и анализа задач нелинейной упругости может быть также установлена на основе вновь определенного нелинейного тензора деформации Коши. В дополнение к выражению для самого нелинейного тензора деформации Коши, для практических применений также необходимы соответствующие уравнения движения, граничные условия и изменения конфигурации в терминах нормали к поверхности. Ключом к установлению уравнений равновесия или движения, и необходимых модификаций переменных в этих уравнениях является определение изменений в системе координат при больших деформациях [5].

Изменение нормали к поверхности упругого тела рассматривается как результат изменений базисных векторов после деформации. В этом случае нормаль к поверхности  после деформации из исходной конфигурации определяется преобразованием под действием среднего значения двух компонент градиента:

,                         (1)

где  – нормаль к поверхности до деформации, а  – линейный тензор деформации Коши.

Граничные условия на поверхности с бесконечно малой деформацией (то есть в линейной теории) следующие:

,                                    (2)

где  – вектор поверхностного натяжения в исходной конфигурации.

При большой деформации, связанной с нелинейным тензором деформации Коши, с преобразованной нормалью к поверхности и тензором напряжений Пиолы-Кирхгоффа первого рода, уравнение (2) принимает вид

, .                        (3)

Эти новые граничные условия носят нелинейный характер, как и должно быть, а отличие от условий, основанных на тензоре деформации Грина, заключается в появлении транспонированного градиента смещения в новой нормали к поверхности с тензором деформации Коши [4].

Таким образом, получен полный набор нелинейных уравнений, включающий нелинейный тензор деформаций Коши, тензор напряжений Коши, выражение для энергии деформации и нелинейные граничные условия, описывающие нелинейную упругость, решения которых могут быть получены известными методами, включая метод конечных элементов.

В таблице представлено сравнение компонент нелинейного тензора деформации Коши с компонентами тензора деформации Грина. Благодаря появлению двух членов, содержащих произведения градиентов, нелинейная часть нелинейного тензора деформации Коши вдвое больше, чем из тензора деформации Грина. Важной особенностью нелинейного тензора деформации Коши является то, что учитываются градиенты смещения во всех направлениях, что резко контрастирует с тензором деформации Грина, который включает только главные компоненты градиентов смещения. В общем случае это может быть выгодно при решении задач, где большие деформации присутствуют во всех направлениях, поскольку включение этих градиентов в нелинейный тензор деформации Коши означает, что они также включены в тензор напряжений через определяющие соотношения.

Путем систематического рассмотрения преобразований при наличии большого градиента деформации был определен новый тензор деформации для нелинейных уравнений теории упругости, выражение которого согласуется с тензором деформации Коши. Это определение согласуется с линейным определением тензора деформации Коши и рассматривается как его расширение в случае больших деформаций. Уравнения, основанные на этом нелинейном тензоре деформации Коши, расширяют преимущества линейной теории упругости на нелинейное напряженное состояние твердых тел. Согласованность нелинейных и линейных тензоров деформации Коши, установленная здесь, обеспечивает важный переход между линейной и нелинейной теориями упругости.

Таблица 1.

Сравнение нелинейных тензоров деформации Коши и Грина

Нелинейная формулировка напряженно-деформированного состояния упругих твердых тел, безусловно, важна и имеет широкое применение, а предлагаемая формулировка представляет собой альтернативный подход, основанный на новом тензоре деформации. Как статические, так и динамические нелинейные задачи в упругих телах могут быть сформулированы и проанализированы на основе нелинейного тензора деформаций Коши для таких типичных элементов, как стержни, балки и пластины. Однако следует отметить, что практическое применение нелинейного тензора деформаций Коши требует дальнейшей проверки посредством систематического анализа и экспериментов.

В предложенном исследовании напряжений и деформаций в сильно нелинейных материалах обнаружено, что на основе тензора деформации Коши из линейной теории упругости можно последовательно определить новый нелинейный тензор деформации.

Список литературы:

1. Горшков Л.К., Протосеня А.Г. Основы теории упругости стержневых систем // СПб., 2012. 119 с.
2. Молотников В.Я., Молотникова А.А. Теория упругости и пластичности. Учебное пособие // СПб.: Лань, 2022. 532 с.
3. Андреев В.К. Математические модели механики сплошных сред. Учебное пособие // СПб.: Лань, 2022. 240 с.
4. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости // М.: Едиториал УРСС, 2010. 214 с.
5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Том 7. Теория упругости. Учебное пособие // М.: Физматлит, 2007. 264 с.