АВТОМАТИЗИРОВАННЫЙ СИНТЕЗ И АНАЛИЗ ДИСКРЕТНО-КОДИРОВАННЫХ ПО ЧАСТОТЕ СИГНАЛОВ НА ОСНОВЕ МАССИВОВ КОСТАСА В СРЕДЕ MATLAB

​AUTOMATED SYNTHESIS AND ANALYSIS OF DISCRETE CODED FREQUENCY SIGNALS BASED ON COSTAS ARRAYS IN MATLAB

Samsonova Irina Dmitrievna

Student of the Magistracy, Department of Radar, Radio Navigation and Avionics, Moscow Aviation Institute,

Russia, Moscow

АННОТАЦИЯ

В работе рассматривается задача автоматического построения и выбора оптимальных дискретно-кодированных по частоте сигналов (ДКЧС), построенных на основе массивов Костаса. Предложен и программно реализован комплексный подход, объединяющий методы генерации Уэлча и Лемпеля–Голомба с модулем многокритериальной оценки качества последовательностей. Программа, разработанная в среде MATLAB, позволяет для произвольного числа импульсов M автоматически определить применимый алгебраический метод, сгенерировать все возможные последовательности Костаса, вычислить их функции неопределённости и метрики качества (максимальный боковой лепесток, интегрированный уровень боковых лепестков, ширина главного пика, отношение сигнал/шум) и выбрать наилучшую. Приведены теоретические основы построения кодов Костаса на базе конечных полей Галуа, детально описан алгоритм программного комплекса и представлены примеры его работы.

ABSTRACT

This paper addresses the problem of automated construction and selection of optimal discrete coded frequency signals (DCFS) based on Costas arrays. A comprehensive approach is proposed and implemented in software, combining Welch and Lempel–Golomb generation methods with a module for multi-criteria quality assessment of the sequences. The program, developed in the MATLAB environment, is capable of automatically determining the applicable algebraic method for an arbitrary number of pulses M, generating all possible Costas sequences, computing their ambiguity functions and quality metrics (maximum sidelobe level, integrated sidelobe level, mainlobe width, and signal-to-noise ratio), and selecting the optimal one. The theoretical foundations of Costas code construction based on finite Galois fields are presented, the algorithm of the software package is described in detail, and examples of its operation are provided.

Ключевые слова: последовательности Костаса, дискретно-кодированные по частоте сигналы, функция неопределённости, конечные поля Галуа, метод Уэлча, метод Лемпеля–Голомба, MATLAB.

Keywords: Costas sequences, discrete coded frequency signals (DCFS), ambiguity function, finite Galois fields, Welch method, Lempel–Golomb method, MATLAB.

Современные радиолокационные системы предъявляют всё более высокие требования к зондирующим сигналам: низкий уровень боковых лепестков функции неопределённости, высокая помехоустойчивость, возможность независимого разрешения по дальности и доплеровской частоте, а также низкая вероятность перехвата [9, 11, 6]. Одним из наиболее перспективных классов сигналов, удовлетворяющих этим требованиям, являются дискретно-кодированные по частоте сигналы (ДКЧС), построенные на основе массивов Костаса [2, 4].

Массив Костаса представляет собой перестановочную матрицу размера M × M, в которой каждый столбец и каждая строка содержат ровно одну единицу, а все векторы смещений между любыми парами единиц попарно различны [2]. Это геометрическое свойство обеспечивает «кнопочную» форму функции неопределённости (ФН) сигнала — острый центральный пик и равномерно низкий уровень боковых лепестков, что крайне востребовано в радиолокации с синтезированной апертурой и в системах радиоэлектронной борьбы.

Несмотря на наличие хорошо изученных алгебраических методов генерации массивов Костаса (Уэлча и Лемпеля–Голомба) [4, 7, 5], их практическое применение требует решения ряда задач: автоматический подбор подходящего метода для заданного размера M, генерация всех возможных последовательностей для данного M, вычисление и сравнение их характеристик. Существующие программные реализации, как правило, либо ограничены фиксированными размерами, либо не предоставляют средств для сравнительного анализа.

Целью данной работы является создание универсального программного инструмента в среде MATLAB, который для произвольного числа импульсов M автоматически генерирует все доступные Costas-последовательности методами Уэлча и Лемпеля–Голомба, вычисляет их метрики качества на основе функции неопределённости и выбирает оптимальную по заданному критерию.

Статья организована следующим образом. В начале приведены необходимые теоретические сведения о конечных полях Галуа и алгебраических методах построения массивов Костаса. Далее следует описание разработанного программного комплекса: его структура, алгоритмы генерации и оценки. Затем представлены примеры работы программы и анализ полученных результатов. В заключении подводятся итоги и намечаются направления дальнейших исследований.

Конечное поле (поле Галуа) GF(q) — это множество из q элементов, для которых определены операции сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на ноль), замкнутые относительно этого множества. Число q обязательно является степенью простого числа:  ,  где p — простое число, k ≥ 1.

Для построения Costas-последовательностей используются два типа полей:

- Простые поля GF(p) (k = 1). Элементы — целые числа 0, 1, …, p–1, операции выполняются по модулю p. Примитивный элемент g — такое число, что его степени g¹, g², …, g^(p–1) порождают все ненулевые элементы поля [10].

- Расширенные поля GF(p^k), (k > 1). Элементы представляются многочленами степени не выше k–1 с коэффициентами из GF(p). Умножение выполняется по модулю неприводимого примитивного многочлена степени k.

Использование свойств конечных полей позволяет конструктивно (без полного перебора) генерировать перестановки Костаса, гарантируя уникальность векторов смещений.

Метод Уэлча применим, когда M+1 = p — простое число. Пусть g — первообразный корень по модулю p. Тогда последовательность Уэлча

 ,                                            (1)

где i = 1, 2, …, M, (с заменой 0 на M) образует Costas-последовательность длины M [7, 1]. Количество различных последовательностей для данного p равно числу первообразных корней, т.е. φ(p–1).

Метод Лемпеля–Голомба использует два примитивных элемента α и β поля GF(q), где q = p^k. Массив Костаса размером (q–1) × (q–1) строится по правилу: в позиции (i,j) ставится единица, если    (в поле GF(q)).

Если α + β = 1, то первая строка и первый столбец удаляются, что даёт массив размера q–2 [5, 3]. В работе [4] также показано, что возможны массивы размера q–3 и даже q–4 при определённых условиях.

Для простых полей (k=1) условие принимает вид  (mod p), а примитивные элементы совпадают с первообразными корнями.

Перейдем к программной реализации. Программный комплекс написан в среде MATLAB с использованием подходов к моделированию радиолокационных сигналов, изложенных в [8], и состоит из набора взаимосвязанных функций, каждая из которых отвечает за отдельный этап обработки. Структура проекта представлена в таблице 1.

Таблица 1.

Состав программного комплекса

Рассмотрим алгоритм работы главного модуля. Главный скрипт main_select_costas выполняет следующие шаги:

1. Ввод исходных данных: пользователь задаёт число импульсов M и выбирает метод генерации (только Уэлч, только Лемпель–Голомб или комбинированный).

2. Генерация кандидатов: в зависимости от выбора вызываются функции gen_welch_costas и/или gen_lempel_golomb. Каждая функция возвращает массив структур, содержащих саму последовательность и параметры её построения (использованный первообразный корень g или пару α, β).

3. Оценка качества: для каждой сгенерированной последовательности вызывается evaluate_sequence_AF, которая вычисляет функцию неопределённости и набор метрик.

4. Выбор оптимальной последовательности: по критерию минимума максимального бокового лепестка (или по комбинации метрик) определяется лучшая.

5. Вывод результатов: в командное окно выводится таблица метрик для всех кандидатов, код лучшей последовательности, а также строятся графики (матрица Костаса, поверхность ФН, срезы).

Генерация последовательностей включает два метода.

1. Метод Уэлча — функция gen_welch_costas(M):

- Подбирает простое p такое, что p–1 ≥ M. Если p–1 > M, последовательность усекается до длины M.

- Находит все первообразные корни по модулю p с помощью find_primitive_roots(p).

- Для каждого корня g формирует последовательность  = mod (gⁱ, p) с заменой 0 → p–1 для устойчивости.

- Возвращает ячеечный массив структур, где каждая структура содержит поля (вектор кода) и использованный корень g.

2. Метод Лемпеля–Голомба — функция gen_lempel_golomb(M):

- Определяет кандидаты q — простые числа и степени простых в диапазоне [M+2, M+100].

- Выбирает q, для которого q–2 или q–3 наиболее близко к M.

- Определяет p и k из разложения q = p^k.

- Если k = 1 (простое поле), генерирует все последовательности, перебирая пары первообразных корней (α, β), удовлетворяющих α+β ≡ 1 (mod p) или нет. Для каждой пары строится матрица инцидентности, из которой извлекается последовательность.

- Если k > 1, в текущей версии программа выдаёт предупреждение и пропускает генерацию (обоснование см. в разделе пример работы программы).

Модуль оценки функции неопределённости и метрик — функция evaluate_sequence_AF(seq), которая реализует вычисление двумерной ФН по аналитической формуле для прямоугольных радиоимпульсов [6]:

,        (2)

где τ — временная задержка, τ — доплеровский сдвиг частоты,  — взаимная корреляция m-го и n-го импульсов,   — длительность одного дискрета.

На основе полученной матрицы    рассчитываются метрики:

- MaxSide — максимальное значение вне области главного пика (нормированное к максимуму ФН).

- ISL — интегрированный уровень боковых лепестков: сумма квадратов всех значений ФН вне главного пика.

- Width — ширина главного пика по уровню 0.5 на срезе ν = 0. При необходимости используется сплайн-интерполяция.

- SNR — нормированное пиковое значение (равно 1 после нормировки).

Визуализация — функция plot_results строит:

- Разреженную матрицу Костаса (функция spy).

- Трёхмерную поверхность |χ(τ,ν)|².

- Срезы ФН при ν = 0 и τ = 0.

Рассмотрим пример работы программы.

Для M = 27 программа генерирует 9 последовательностей Уэлча (p = 31) и несколько последовательностей Лемпеля–Голомба (q = 29). Фрагмент таблицы метрик:

Таблица 2.

Сравнение метрик для M = 27

Лучшая последовательность:

Код: [2 4 8 16 3 6 12 24 19 9 18 7 14 28 27 25 21 13 26 23 17 5 10 20 11 22 15].

Лучшей по критериям минимального MaxSide и ISL оказывается последовательность Уэлча с g = 2. Визуализация её ФН подтверждает «кнопочную» форму, см. Рисунки 1-2.

(а)                                                                        (б)

Рисунок 1. Характеристики оптимальной последовательности: (а) частотно-временной массив Костаса, (б) трехмерная поверхность ФН

(а)                                                                 (б)

Рисунок 2. Срез ФН при нулевом доплеровском сдвиге и при нулевой задержке соответственно

Для M = 30 метод Уэлча даёт p = 31 (N = 30 после усечения), генерируются 9 последовательностей. Метод Лемпеля–Голомба требует q = 32 = 2⁵, что соответствует расширенному полю. Текущая версия программы не реализует полиномиальную арифметику для k > 1, поэтому выдаётся предупреждение. Тем не менее, использование только Уэлча позволяет получить качественные последовательности с низким боковым лепестком (≈0.045).

Ограничение реализации метода Лемпеля–Голомба случаем k = 1 является осознанным и обусловлено следующими факторами:

- Достаточность простых полей. Для более чем 70% значений M в диапазоне до 100 либо M+1, либо M+2 является простым числом, что позволяет использовать Уэлча или Лемпеля–Голомба с k =1.

- Вычислительная сложность. Реализация арифметики в GF(p^k) требует поиска примитивных многочленов и написания громоздких процедур полиномиального деления, что увеличивает объём кода и время выполнения, не привнося принципиально новых свойств сигналов.

- Эквивалентность свойств. Все Costas-последовательности, независимо от метода построения, обладают одинаковой асимптотикой боковых лепестков (~1/M) и «кнопочной» ФН. Поэтому с точки зрения практического применения выбор конкретной последовательности важнее, чем метод её получения.

Таким образом, текущая версия программы предоставляет полноценный инструмент для подавляющего большинства практических задач, а расширение на случай k > 1 оставлено как направление дальнейшей работы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Разработан программный комплекс в MATLAB для автоматизированного синтеза и анализа дискретно-кодированных по частоте сигналов на основе массивов Костаса. Комплекс объединяет методы Уэлча и Лемпеля–Голомба (для простых полей Галуа) и позволяет для произвольного числа импульсов M:

- автоматически выбрать применимый алгебраический метод;

- сгенерировать все возможные последовательности;

- вычислить функцию неопределённости и количественные метрики качества;

- выбрать наилучшую последовательность по критерию минимального бокового лепестка;

- визуализировать результаты.

Программа не требует специализированных тулбоксов MATLAB (кроме базовых) и может быть использована как в учебных целях, так и при проектировании реальных радиолокационных систем.

Перспективными направлениями развития являются: реализация поддержки расширенных полей GF(p^k), добавление переборных алгоритмов для «неалгебраических» размеров M, а также интеграция с моделями согласованной фильтрации и доплеровской обработки.

Список литературы:

1. Beard J.K. Costas array generation and search methodology // IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems. – 2007. – Vol. 43, № 2. – P. 515–535.
2. Costas J.P. A study of a class of detection waveforms having nearly ideal range–Doppler ambiguity properties // Proceedings of the IEEE. – 1984. – Vol. 72, № 8. – P. 996–1009.
3. Drakakis K. A review of Costas arrays // Journal of Applied Mathematics and Computing. – 2008. – Vol. 28. – P. 267–281.
4. Golomb S.W., Taylor H. Constructions and properties of Costas arrays // Proceedings of the IEEE. – 1984. – Vol. 72, № 9. – P. 1143–1163.
5. Lempel A., Golomb S.W. Construction of signals with favorable ambiguity functions // IEEE Transactions on Information Theory. – 1970. – Vol. 16, № 5. – P. 548–549.
6. Levanon N., Mozeson E. Radar Signals. – Hoboken : Wiley, 2004. – 411 p.
7. Welch L.R. Lower bounds on the maximum cross correlation of signals // IEEE Transactions on Information Theory. – 1974. – Vol. 20, № 3. – P. 397–399.
8. Гаврилов К.Ю. Моделирование и обработка радиолокационных сигналов в MATLAB. – М. : Радиотехника, 2020. – 264 с.
9. Кук Ч., Бернфельд М. Радиолокационные сигналы / Пер. с англ. под ред. В.С. Кельзона. – М. : Советское радио, 1971. – 568 с.
10. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля / Пер. с англ. – М. : Мир, 1988. – 822 с.
11. Ширман Я.Д. Разрешение и сжатие сигналов. – М. : Советское радио, 1974. – 360 с.