СИНТЕЗ АДАПТИВНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ОБЪЕКТОВ С НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЬЮ ПАРАМЕТРОВ И ПЕРЕМЕННЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

​SYNTHESIS OF ADAPTIVE CONTROL FOR OBJECTS WITH PARAMETER UNCERTAINTY AND VARIABLE DELAY

Sokerin Kirill Vyacheslavovich,

student, Department of Automation of Technological Processes and Productions, Syktyvkar Forestry Institute - branch of St. Petersburg State Forestry Engineering University named after S. M. Kirov,

Russia, Syktyvkar

АННОТАЦИЯ

В работе рассматривается задача стабилизации нелинейных динамических объектов, характеризуемых одновременным наличием параметрической неопределённости, нелинейностей и переменного во времени запаздывания в канале управления. Классические адаптивные алгоритмы, как правило, не учитывают запаздывание, что приводит к потере устойчивости или значительной деградации качества переходных процессов. Предлагается гибридный метод, комбинирующий принцип косвенной адаптации с онлайн-идентификацией параметров и синтез управляющего воздействия на основе модифицированного предсказателя Смита с компенсацией запаздывания. Устойчивость замкнутой системы доказывается с помощью функционала Ляпунова-Красовского смешанного типа, учитывающего как ошибку идентификации, так и ошибку предсказания. Теоретические результаты иллюстрируются результатами численного моделирования на примере модели электромеханического привода с упругой связью и переменной нагрузкой. Показано, что предложенный алгоритм обеспечивает асимптотическое стремление ошибки слежения к нулю при сохранении ограниченности всех сигналов системы и превосходит по показателям качества переходных процессов традиционные адаптивные контроллеры без учёта запаздывания.

ABSTRACT

The paper considers the problem of stabilizing nonlinear dynamic objects characterized by the simultaneous presence of parametric uncertainty, nonlinearities, and time-varying delay in the control channel. Classical adaptive algorithms typically do not take into account the delay, which leads to loss of stability or significant degradation of the quality of transient processes. A hybrid method is proposed that combines the principle of indirect adaptation with online parameter identification and the synthesis of a control action based on a modified Smith predictor with delay compensation. The stability of the closed-loop system is proved using a mixed-type Lyapunov-Krasovskii functional that takes into account both the identification error and the prediction error. The theoretical results are illustrated by numerical simulations using a model of an electromechanical drive with elastic coupling and variable load. It is shown that the proposed algorithm ensures

Ключевые слова: Адаптивное управление, системы с запаздыванием, параметрическая неопределённость, функция Ляпунова-Красовского, устойчивость, предсказатель Смита, онлайн-идентификация.

Keywords: Adaptive control, delayed systems, parametric uncertainty, Lyapunov-Krasovskii function, stability, Smith predictor, online identification.

Проблема управления объектами, динамика которых описывается дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом, является одной из фундаментальных в теории автоматического управления. Запаздывание (транспортное, вычислительное, в цепи обратной связи) неизбежно присутствует в большинстве реальных технических систем: в робототехнике (силовая обратная связь), в химических технологических процессах (транспортировка вещества по трубопроводам), в сетевых системах управления. Наличие даже небольшого запаздывания может кардинально ухудшить показатели качества системы, а при превышении критического значения — привести к потере устойчивости [1, 2].

Отдельный класс сложности составляют объекты с неопределённостью параметров. В условиях неполного априорного знания математической модели наиболее эффективным подходом является использование адаптивных систем управления, способных настраивать параметры регулятора в реальном времени [3]. Однако синтез адаптивных алгоритмов для систем с запаздыванием сопряжён с существенными теоретическими трудностями, поскольку комбинация адаптации и запаздывания может привести к возникновению динамической нестабильности даже в линейном случае [4].

Таким образом, актуальной является задача разработки робастных алгоритмов адаптивного управления, обеспечивающих требуемые динамические характеристики для объектов, одновременно обладающих параметрической неопределённостью и переменным запаздыванием.

Целью данной работы является синтез и анализ гибридного адаптивного алгоритма, сочетающего процедуру онлайн-идентификации параметров объекта и компенсацию запаздывания в контуре управления. Научная новизна заключается в:

1. Предложении структуры управления, в которой адаптивный идентификатор работает совместно с предсказателем состояния, скомпенсированным по запаздыванию.

2. Использовании комбинированного функционала Ляпунова-Красовского для единого доказательства устойчивости как процесса идентификации, так и процесса слежения.

3. Учете переменного характера запаздывания с известными границами его изменения.

Рассмотрим класс нелинейных динамических систем, описываемых моделью:

где  — вектор состояния;  — управляющее воздействие;  — измеряемый выход;  — вектор неизвестных постоянных или медленно меняющихся параметров;  — измеримое или оцениваемое переменное запаздывание, удовлетворяющее условиям , ;  — ограниченное внешнее возмущение;  — матрицы параметров;  — известная нелинейная функция;  — известная матрица.

Доступными для измерения считаются сигналы  и . Запаздывание  предполагается известным (напр., оцененным по времени прохождения сигнала в сети) или подлежащим отдельной оценке.

Цель управления: синтезировать закон адаптивного управления , обеспечивающий при  выполнение условия , где  — заданный желаемый выходной сигнал (отслеживаемый эталон), а  — малая постоянная, определяемая уровнем возмущений . При этом все сигналы в замкнутой системе должны оставаться ограниченными.

Предлагаемый гибридный алгоритм состоит из трех взаимосвязанных блоков: идентификатора параметров, предсказателя состояния и адаптивного регулятора.

Для оценки вектора неизвестных параметров  введем вспомогательный фильтр и регрессионную модель. Рассмотрим отфильтрованный сигнал управления:

где  — гурвицев строго собственный фильтр. Динамику системы можно переписать в регрессионной форме:

где  — измеряемый сигнал, формируемый через фильтрацию  и ;  — матрица регрессоров, содержащая известные функции от  и ;  — экспоненциально затухающий член, связанный с начальными условиями, и член, связанный с запаздыванием.

Алгоритм адаптивной идентификации с σ-модификацией для борьбы с дрейфом параметров при наличии возмущений имеет вид:

где  — оценка параметров;  — матрица коэффициентов адаптации;  — малый параметр.

Для компенсации известного запаздывания  используется модификация принципа предсказателя Смита. Вводится предсказанное состояние , которое аппроксимирует состояние . Уравнение предсказателя строится на основе текущей оценки модели:

где  — модель запаздывающего предсказанного состояния, используемая для формирования ошибки коррекции;  — матрица коэффициентов наблюдателя, выбираемая для обеспечения устойчивости ошибки предсказания .

3.3. Синтез адаптивного закона управления

Закон управления формируется на основе предсказанного состояния  и эталонной модели , где  — задающее воздействие:

где матрицы  вычисляются онлайн по методу гарантирующего управления (certainty equivalence principle) для обеспечения выполнения уравнения эталонной модели в предсказанном состоянии. Нелинейная составляющая  предназначена для компенсации .

Устойчивость всей замкнутой системы доказывается с помощью конструкции функционала Ляпунова-Красовского смешанного типа:

где  — ошибка идентификации;  — симметричные положительно определенные матрицы;  — скалярный весовой коэффициент.

Теорема. Пусть выполнены следующие условия:

1. ара эталонных матриц  управляема.

2. Регрессор  ограничен при ограниченных  и .

3. Запаздывание  удовлетворяет условиям, указанным в постановке задачи.

4. Существуют матрицы  и коэффициент , удовлетворяющие линейному матричному неравенству (ЛМИ), вытекающему из условия , где .

Тогда для системы с предложенным адаптивным законом управления:

• Все сигналы  ограничены.
• Ошибка слежения  в установившемся режиме ограничена по норме величиной, пропорциональной уровню внешних возмущений , и при  стремится к нулю.

Доказательство (конспективно) проводится путем вычисления производной  вдоль траекторий системы, подстановки уравнений ошибок и применения неравенств Гронуолла-Беллмана и Разумихина для членов с запаздыванием. При выполнении сформулированных условий получается мажоранта, гарантирующая экспоненциальную устойчивость по выходу и предельную ограниченность полного вектора состояния.

Для верификации предложенного метода проведено моделирование в среде MATLAB/Simulink. Объект управления — модель двухмассовой электромеханической системы (двигатель — нагрузка с упругой связью) с неизвестным моментом инерции нагрузки и переменным запаздыванием в контуре управления током якоря  с.

Сравнивались три контроллера:

1. PID: Классический ПИД-регулятор, настроенный без учета запаздывания.

2. AC: Адаптивный контроллер (метод эталонной модели) без компенсации запаздывания.

3. Proposed: Предлагаемый гибридный адаптивный контроллер с компенсацией запаздывания.

Критерии сравнения: время регулирования , перерегулирование , интегральный квадратичный критерий ошибки слежения за скоростью нагрузки .

Таблица 1.

Результаты

Графики переходных процессов наглядно демонстрируют, что предлагаемый алгоритм обеспечивает существенно более быстрое и плавное отслеживание изменения задающей скорости, подавляет колебания, вызванные упругостью связи и запаздыванием, и показывает высокую робастность к скачкообразному изменению момента нагрузки на 50%.

В работе предложен и теоретически обоснован новый гибридный подход к адаптивному управлению объектами с параметрической неопределённостью и переменным запаздыванием. Ключевые преимущества подхода:

1. Разделение задач: Адаптация решает проблему параметрической неопределённости, а предсказатель — проблему запаздывания. Это упрощает анализ и настройку.

2. Робастность: Использование σ-модификации в законе адаптации и конструктивное использование ЛМИ в синтезе наблюдателя обеспечивают устойчивость к малым возмущениям и неточностям модели.

3. Практическая применимость: Алгоритм основан на измеряемых сигналах и не требует знания производных состояния.

Основным ограничением метода является предположение об измеримости или возможности точной оценки запаздывания . В случае, когда запаздывание неизвестно, требуется совместная оценка параметров и запаздывания, что является предметом дальнейших исследований.

Перспективным направлением развития представленного подхода является его расширение на класс нелинейных систем с неопределённостью непараметрического типа (например, с помощью нейросетевых аппроксиматоров в структуре адаптивного закона), а также применение в задачах сетевого управления (NCS) с потерями пакетов данных.

Таким образом, предложенный алгоритм представляет собой эффективное решение актуальной задачи, объединяющее современные методы адаптации и теории систем с запаздыванием, и может быть рекомендован для применения в сложных электромеханических, технологических и робототехнических системах.

Список литературы:

1. Richard, J.-P. "Time-delay systems: an overview of some recent advances and open problems." Automatica, 2003.
2. Michiels, W., Niculescu, S.-I. "Stability and stabilization of time-delay systems." SIAM, 2007.
3. Ioannou, P., Fidan, B. "Adaptive Control Tutorial." SIAM, 2006.
4. Bresch-Pietri, D., Krstic, M. "Adaptive control of systems with unknown time-varying input delay." IEEE TAC, 2014.
5. Лямин, С. К., Лямина, А. С. "Адаптивное управление динамическими объектами с запаздыванием." Изв. РАН. ТиСУ, 2019.