SIR МОДЕЛИН КОЛДОНУУ МЕНЕН ЖУГУШТУУ ООРУЛАРДЫН ТАРАЛЫШЫН МАТЕМАТИКАЛЫК МОДЕЛДӨӨ

АННОТАЦИЯ

Бул макалада жугуштуу оорулардын жайылышын талдоо үчүн математикалык моделдөөнү колдонуу каралат. Ал дифференциалдык теңдемелер системасына негизделген классикалык эпидемиологиялык SIR моделин колдонот. Инфекциянын жайылышын компьютердик моделдөө Python программалоо тилин колдонуу менен жүргүзүлдү . Моделдин негизги параметрлеринин – инфекциянын жана айыгуу көрсөткүчүнүн – эпидемиялык процесстин динамикасына тийгизген таасири талданды. Жыйынтыктар саламаттыкты сактоо системасында эпидемияны болжолдоо жана чечимдерди кабыл алууну колдоо үчүн математикалык моделдерди колдонуунун мүмкүнчүлүктөрүн көрсөтөт.

ABSTRACT

This article examines the use of mathematical modeling to analyze the spread of infectious diseases. It utilizes a classical epidemiological SIR model based on a system of differential equations. Computer simulation of the spread of infection was performed using the Python programming language. The influence of the model's key parameters—infection rate and recovery rate—on the dynamics of the epidemic process was analyzed. The results demonstrate the potential of mathematical models for epidemic forecasting and decision support in healthcare systems.

Ачкыч сөздөр: математикалык моделдөө, эпидемиология, SIR модели, жугуштуу оорулар, дифференциалдык теңдемелер.

Keywords: mathematical modeling, epidemiology, SIR model, infectious diseases, differential equations.

Математикалык моделдөө заманбап медициналык изилдөөлөрдө маанилүү ролду ойнойт. Математикалык моделдерди оорулардын жайылышын талдоо, эпидемиялардын өнүгүшүн алдын ала айтуу жана алдын алуу чараларынын натыйжалуулугун баалоо үчүн колдонсо болот. Эсептөө технологияларынын жана маалыматтарды талдоо ыкмаларынын жетишкендиктери медицинада математикалык моделдерди колдонуу мүмкүнчүлүгүн бир топ кеңейтти.

Математикалык моделдөө эпидемиологияда өзгөчө маанилүү болуп калды. Глобалдашуу жана калктын жогорку мобилдүүлүгү шартында жугуштуу оорулар абдан тез жайылып кетиши мүмкүн, бул эпидемиологиялык кырдаалдарды божомолдоо жана башкаруу үчүн илимий жактан негизделген ыкмаларды иштеп чыгууну талап кылат.

Эпидемиологиялык процесстердин эң белгилүү моделдеринин бири - В. Кермак жана А. Маккендрик тарабынан сунушталган SIR модели [1]. Бул модель калкты үч негизги топко бөлөт: инфекцияларга сезгич, инфекция жуккан жана айыгып кеткен. Жөнөкөйлүгүнө карабастан, модель жугуштуу оорулардын таралышынын негизги мыйзам ченемдүүлүктөрүн сүрөттөөгө мүмкүндүк берет.

Заманбап изилдөөлөрдө SIR модели көбүнчө демографиялык процесстерди, эмдөөнү, социалдык байланыштарды жана башка факторлорду эске алган татаалыраак моделдерди түзүү үчүн негиз катары колдонулат.

Классикалык SIR модели төмөнкү теңдемелер системасы менен сүрөттөлөт [3]:

мында S - сезгич адамдардын саны, I инфекцияны жуктуруп алгандар, R айыгып кеткендер, β - жуктуруп алуу коэффициенти, γ - айыгып кетүү коэффициенти, N - жалпы калк.

1-таблица

Моделдин параметрлери

Моделдин жүрүм-турумун талдоо үчүн Python программалоо тилин колдонуу менен сандык моделдөөлөр жүргүзүлдү. Компьютердик моделдерди колдонуу эпидемиялык процесстин динамикасын көрсөтүүгө жана моделдин параметрлеринин таасирин изилдөөгө мүмкүндүк берет.

Python тилинде моделди ишке ашыруунун мисалы:

N = 10000       # жалпы калкI0 = 1          # инфекция жуктургандардын баштапкы саны

R0 = 0          # айыккандардын баштапкы саны

S0 = N - I0 - R0

beta = 0.3      # жуктуруу коэффициенты

gamma = 0.1     # айыгуу коэффициенти

days = 160      # моделдөө мезгили

# жыйынтыктарды сактоо массивдери

S = [S0]

I = [I0]

R = [R0]

# моделдөө

for t in range(days):

    new_infected = beta * S[-1] * I[-1] / N

    new_recovered = gamma * I[-1]

    S.append(S[-1] - new_infected)

    I.append(I[-1] + new_infected - new_recovered)

    R.append(R[-1] + new_recovered)

# убакыт

t = np.arange(0, days + 1)

# графикти түзүү

plt.plot(t, S, label="жуктуруп алууга сезимтал (S)")

plt.plot(t, I, label="жуктургандар (I)")

plt.plot(t, R, label="айыккандар(R)")

plt.xlabel("Убакыт (күн)")

plt.ylabel("Калктын саны")

plt.title("Инфекциянын таралышынын SIR модели)")

plt.legend()

plt.show()

1-сүрөттө SIR моделиндеги калк топторунун өзгөрүү динамикасы көрсөтүлгөн .

1-сүрөт. SIR моделиндеги калк топторунун өзгөрүү динамикасы.

2-сүрөттө инфекцияны жуктуруу β коэффициентинин эпидемиялык динамикага тийгизген таасири көрсөтүлгөн.

2-сүрөт. Инфекциянын β көрсөткүчүнүн эпидемиялык динамикага тийгизген таасири.

3-сүрөттө γ айыгуу коэффициентинин таасири көрсөтүлгөн .

3-сүрөт. γ айыгуу коэффициентинин таасири

Моделдөөнүн жыйынтыктары инфекциянын көбөйүшү инфекциянын тез жайылышына жана оору жугузгандардын эң жогорку санынын өсүшүнө алып келерин көрсөтүп турат. Ошол эле учурда, айыгуу көрсөткүчүнүн жогорулашы инфекциялардын санынын тезирээк төмөндөшүнө өбөлгө түзөт [4].

Изилдөө математикалык моделдөөнү жугуштуу оорулардын жайылышын талдоо үчүн натыйжалуу колдонууга болорун көрсөттү. SIR модели эпидемиялык процесстин динамикасын изилдөөгө жана ар кандай факторлордун таасирин баалоого мүмкүндүк берет.

Адабияттардын тизмеси:

1. Брауэр Ф., Кастильо-Чавес К. Математические модели в эпидемиологии. – М.: Мир, 2011. – 412 б.
2. Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование: идеи, методы, примеры. – М.: Физматлит, 2005. – 320 б.
3. Мюррей Дж. Математическая биология. – М.: Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2011. – 776 б.
4. Ризниченко Г. Ю. Математические модели в биологии. – М.: Физматлит, 2002. – 256 б.
5. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. – М.: УРСС, 2012. – 448 с.
6. Андреев А. С., Громов Ю. Ю. Математическое моделирование биологических процессов. – М.: Наука, 2015. – 280 б.
7. Кутателадзе С. С. Математическое моделирование в естественных науках. – Новосибирск: СО РАН, 2013. – 268 б.