РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПРОЦЕССА ПРОИЗВОДСТВА ВАФЕЛЬНОГО ЛИСТА

При нарушении хода технологического процесса производства вафельного листа происходит загрязнение окружающей среды, снижение качества получаемого продукта, а также повышается аварийность производства.

С точки зрения экологии и безопасности производства актуальной является задача ведения процесса по регламенту.

Так же одним из главных вопросов является снижение стоимости и обеспечении высоких показателей качества.

Исходя из постановки задачи автоматизации, в результате математического моделирования необходимо установить математическую связь между входными и выходными переменными [1, c. 53].

При разработке экспериментально-аналитической математической модели процессов в вафельной печи HAAS PZO примем следующие допущения [12]:

1. Плотность топочных газов постоянна.
2. Теплоемкость топочных газов постоянна.
3. Геометрические размеры печи постоянны.
4. Топочные газы идеально перемешены.
5. Избыточный воздух в процессе горения отсутствует.
6. Температура вафельных листов на входе равна температуре в цехе, а температура вафельных листов на выходе равна температуре топочных газов.
7.  Температура газа на входе равна температуре в цеху.

В соответствии с принятыми допущениями уравнение теплового баланса для объема печи можно представить в виде [12]:

, [Дж/с]                                                                                 (1)

гдеН– общая энтальпия объема печи, Дж/с;

 – приход теплоты в объем печи, Дж/с;

 – уход теплоты из объема печи, Дж/с;

Приход тепла в объем печи определяется уравнением [12]:

=+++, [Дж/с]                                                                                (2)

где– тепловой поток, поступающий в печь с газом, Дж/с;

– тепловой поток, поступающий в печь с воздухом, Дж/с;

– тепловой поток, поступающий в печь с тестом, Дж/с;

=µ₁c_гt_о.с, [Дж/с]                                                                                (3)

где µ₁ - пропускная способность клапана газа, кг/ (с Па);

P_вх^г - давление газа в магистрали, Па;

P_п -  давление газа в объеме печи, Па;

с_г - удельная теплоемкость газа, Дж/ (кг °С);

=µ₂с_возt_о.с, [Дж/с]                                                                           (4)

где µ₂- пропускная способность клапана воздуха, кг/сПа;

P_вх^воз - давление воздуха в магистрали, Па;

с_воз  - удельная теплоемкость воздуха, Дж/(кг °С);

=G_тс_тt_о.с, [Дж/с]                                                                                           (5)

где G_т - производительность печи, кг/с;

с_т -  удельная теплоемкость теста, Дж/ (кг °С);

=µ₁R1, [Дж/с]                                                                            (6)

где R1 - удельная теплота сгорания газа, Дж/кг;

Уход тепла из объема печи определяется уравнением:

=--, [Дж/с]                                                                                 (7)

где – уход теплоты с топочными газами, Дж/с;

 – уход теплоты в окружающую среду, Дж/с;

 – уход теплоты с тестом, Дж/с;

=(+)c_т.гt_п, [Дж/с]                                                            (8)

где c_т.г –удельная теплоемкость топочных газов , Дж/(кг °C);

=КF (t_п - t_о.с), [Дж/с]                                                                                      (9)

где К– коэффициент теплопередачи, Дж/ (м² °С);

F– площадь поверхности печи, м²; 

=G_тC_тt_п, [Дж/с]                                                                                     (10)

С учетом уравнения (1) - (10) окончательно имеем

ρ_т.г.V с_т.г=µ₁с_гt_о.с+ µ₂с_возt_о.с+G_тC_тt_о.с + +µ₁R1- (µ₁ + µ₂) с_т.гt_п - КF(t_п - t_о.с) -G_тC_тt_п.     (11)

Уравнение связи для давления P_п:

P_п=ρ_т.гRt_п.                                                                                         (12)

где ρ_т.г – плотность топочногогаза газа, кг/м³;

R – универсальная газовая постоянная, Дж/(кг∙К).

Таким образом математическая модель динамики процесса выпечки вафельных листов представляет собой систему уравнений (1) - (12).

Идентификация математической модели процесса производства вафельного листа

Методика идентификации математической модели объекта

В общем случае математическая модель может быть представлена в виде:

,                                                                                        (13)

где - вектор входных координат; - вектор идентифицируемых параметров; - вектор параметров, заданных априорно.

Считается, что идентификация ММ состоит из двух этапов: коррекции вектора  и проверки адекватности откорректированной модели.

Математическую модель объекта считается адекватной, если приведенная погрешность  во всех экспериментах каждой из координат адекватности, в качестве которых выступают измеряемые выходные переменные , не превышает заданного допустимого значения  [2, c. 77]. Величина e определяется:

,                                                                                        (14)

где  - расчетное и экспериментальное значения соответствующей координаты адекватности  при одинаковых значениях входных параметров объекта, - диапазон изменения j-й координаты адекватности.

Учитывая, что при экспериментальном определении получают не , а  для , где  - количество измерений -й выходной измеряемой переменной;  - шаг дискретизации по длине для -й переменной, (14) перепишется в следующем виде:

                                                                         (15)

где  - количество измеряемых выходных переменных,  - номер измерения.

Все экспериментльные данные делятся на две выборки: поверочную и рабочую и при идентификации математической модели осуществляется обмен экспериментальными данными между упомянутыми выборками. Поверочная выборка используется для проверки точности математической модели, рабочая - для коррекции настроечных коэффициентов модели.

Задача коррекции ММ математически формулируется следующим образом. Из физического смысла следует, что вектор  принадлежит ограниченной области допустимых значений .

Пусть экспериментальным путем получены значения входных  и выходных  параметров, где ; ; ; . Соответственно  - означают размерность вектора входных параметров и количество проведенных экспериментов. Далее находится решение ММ при подстановке в качестве входных координат вектора  и строится неотрицательная функция:

                                                                     (16)

где  - верхняя и нижняя границы изменения j - той координаты адекватности в -м эксперименте.

Коррекция ММ заключается в отыскании  такого, что:

 .                                                                                     (17)

2. Идентификация и проверка точности математической модели

Математическое описание динамики процесса производства вафельного листа на стадии регулирования температуры в печи представляет собой систему алгебраических и дифференциальных уравнений, с соответствующими начальными условиями.

Точность математической модели оценивается по следующим величинам [4]:

,   ,                                                                    (18)

где  - экспериментальное и расчетное значения температуры в печи  в -м измерении,  - максимальное и минимальное значение температуры в печи.

На рисунке 1 представлены значения температуры печи по времени.

Рисунок 1. Значения температуры печи по времени

Температура в печи:  - расчетная,  - экспериментальная. Сравнительный анализ показывает, модель адекватна, и ошибка модели  = 9.48 %.

,                                                                               (19)

где  - число экспериментов в поверочной выборке.

Анализируя рисунки 1 и ошибку модели, можно говорить, что точность математической модели достаточна для изучения процесса производства вафельного листа путем имитационных исследований.

Список литературы:

1. Автоматизация технологических процессов и производств [Электронный ресурс]: метод. указания / В.А. Погонин, И.А. Елизаров, А.А. Третьяков [и др.]. - Тамбов: ТГТУ, 2005. - Режим доступа к книге: "Электронно-библиотечная система ТГТУ. Электронные аналоги печатных изданий".
2. Бодров В.И. Теория линейных систем автоматического регулирования / В.И. Бодров, Т.Я. Лазарева // Тамбов: ТГТУ, 1994.