ДИСКРЕТИЗАЦИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ФУНКЦИОНАЛА КАЧЕСТВА ДЛЯ МАХОВИЧНЫХ СИСТЕМ ОРИЕНТАЦИИ С КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫМИ УПРАВЛЕНИЯМИ

​INTEGRAL QUALITY FUNCTIONAL DISCRETIZATION FOR REACTION WHEEL ATTITUDE CONTROL SYSTEMS WITH PIECEWISE-LINEAR CONTROLS

Khrustalev Alexander Alekseevich

PhD student of Institute of Cybersecurity and Computer Science, Peter the Great St.Petersburg Polytechnic University,

Russia, Saint Petersburg

АННОТАЦИЯ

Среди критериев оптимальности систем стабилизации наибольшее распространение получили требования минимизации интегральных функционалов качества. Данная работа посвящена вычислению суммарного функционала качества управлений на основе соответствующего интегрального функционала для маховичных систем ориентации с кусочно-линейными управлениями. В результате работы вычислен дискретный функционал качества кусочно-линейных управлений, учитывающий ограничение на их глобальную непрерывность.

ABSTRACT

The most common form of stabilization systems optimality criterion are the requirements for minimizing integral quality functionals. The article is devoted to calculating the summation controls quality functional based on the corresponding integral quality functional for reaction wheel attitude control systems with piecewise-linear controls. As a result, a discrete quality functional for piecewise-linear controls has been calculated, taking into account the controls global continuity restriction.

Ключевые слова: системы автоматического управления, системы стабилизации, критерий оптимальности, дискретизация, качество управлений.

Keywords: automatic control systems, stabilization systems, optimality criterion, discretization, controls quality.

Рассматривается модель системы автоматического управления в пространстве состояний, учитывающая влияние производных управляющих воздействий:

где  – вектор состояний объекта управления,  – вектор управляющих воздействий,  – матрица системы, ,  – матрицы передач управлений, , ,  – рассматриваемое время динамики системы. Модель (1) может применяться для изучения динамики таких объектов управления, как системы ориентации космических аппаратов с двигателями-маховиками [1], где управляющие вращательные моменты маховиков определяются производными по времени их угловых скоростей.

В силу [2] интегральный функционал качества управлений для систем вида (1) может быть задан в виде

где  – положительно определённая вещественная матрица. Рассматривается случай, когда управления системы (1) заданы кусочно-линейными:

где  – итерация вычисления,  – период дискретизации. С учётом (3) функционал (2) в силу линейности интегрального оператора примет вид

где .

Таким образом, функционал (2) с учётом  принимает вид суммы

Обозначим слагаемые суммы (4) как , тогда . Определённые интегралы в (4) на каждом шаге принимают значения

Обозначим  . Тогда слагаемые суммы (4) могут быть записаны в виде

и функционал (2) для кусочно-линейных управлений примет вид

При рассмотрении маховичных систем ориентации в виде (1) одним из основных ограничений синтеза управлений является необходимость разгрузки управляющих двигателей-маховиков [3], то есть нивелирование влияния на объект управления накопленного ими вращательного момента. Формирование кусочно-линейных управлений в виде (3) без ограничения на их глобальную непрерывность приведёт к необходимости разгрузки маховиков на каждом шаге вычисления , что существенно повлияет на энергозатраты системы. По этой причине предлагается учесть в вычислении дискретного функционала качества непрерывность кусочно-линейных управлений, то есть

Так как при применении рассматриваемого управляющего устройства – двигателей-маховиков – коэффициенты  не влияют на динамику объекта управления, выполнение (7) возможно при задании коэффициентов  в виде

Применение (8) к предыдущим итерациям вычисления управлений позволяет записать выражение для  в виде

Пусть , тогда выражение для непрерывных кусочно-линейных управлений (3) примет вид

С учётом (9) при  слагаемые функционала качества (5) примут вид

Приведя подобные, получим

Рассмотрим сумму

С учётом перестановки слагаемых получим

Таким образом, функционал (2) для кусочно-линейных управлений (3) с учётом ограничения на их непрерывность (7) имеет вид

где  – симметричная положительно определённая матрица, , .

Слагаемые суммы (12) представляют собой сумму квадратичной формы коэффициентов кусочно-линейных управлений (3) и их линейной комбинации, коэффициенты которой зависят от вычисленных управлений на предыдущих шагах моделирования системы. В процессе вычисления управлений влияние компонент матрицы  на требования к качеству управлений ослабляется в силу определения матрицы .

Задачу минимизации функционала вида (12) возможно решить при вычислении локально оптимальных управлений. Так, в работе [4] представлен метод минимизации линейного функционала вида  на траектории системы (1) при ограничении на переменные вида . Предлагается расширить данную задачу с учётом определения слагаемых (12).

Список литературы:

1. Телепнев П.П. Оценка уровней механических воздействий на КА двигателя-маховика в вязко-упругом подвесе виброизолятора, обусловленных прецессией и нутацией / П. П. Телепнев, В. В. Ефанов, Д. А. Кузнецов, В. В. Герасимчук // Вестник НПО им. С.А. Лавочкина. – 2024. – № 3(65). – С. 30–35.
2. Козлов В.Н., Ефремов А.А. Проекционный метод решения уравнения Р. Беллмана для синтеза систем с ограничениями на управления // Системный анализ в проектировании и управлении: сборник научных трудов XXVI Международной научно-практической конференции (Санкт-Петербург, 13–14 октября 2022 года). – Санкт-Петербург, 2023. – С. 151–157.
3. Маштаков Я.В., Ткачев C.C. Использование маховиков для управления вектором тяги при перелёте Земля-Луна // Механика, управление и информатика. – 2015. – Т. 7, № 2(55). – С. 340–347.
4. Васильев Ю.С., Ефремов А.А., Козлов В.Н. Проекционный метод оптимизации динамических систем: состояние и перспетивы развития // SAEC. 2021. №2. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/proektsionnyy-metod-optimizatsii-dinamicheskih-sistem-sostoyanie-i-perspetivy-razvitiya (дата обращения: 03.08.2026).