МОДЕЛИРОВАНИЕ АНОМАЛЬНОГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ ЗЕМЛИ В ВИДЕ ДВУМЕРНОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА С ЗАДАННОЙ ДЛИНОЙ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КОРРЕЛЯЦИИ

​MODELING OF THE ANOMALOUS MAGNETIC FIELD OF THE EARTH AS A TWO-DIMENSIONAL RANDOM PROCESS WITH A SPECIFIED SPATIAL CORRELATION LENGTH

Katkova Ekaterina Alekseevna

Postgraduate, St. Petersburg State University,

Russia, St. Petersburg

АННОТАЦИЯ

Цель работы – генерация цифровых моделей аномального магнитного поля Земли в выделенных локальных областях. Для этого данное поле рассматривается как двумерный случайный процесс с заданными статистическими свойствами и моделируется методом двумерной линейной свертки и спектральным методом. Получены модели аномального магнитного поля для различных геофизических типов поверхности Земли в невозмущенном состоянии и во время магнитных бурь. Представленные синтетические данные могут быть использованы для тестирования и отработки различных прикладных программ, в частности, при решении задачи автономной навигации по аномальному магнитному полю Земли.

ABSTRACT

The purpose of the work is to generate digital models of the Earth's anomalous magnetic field in selected local areas. To achieve this, the magnetic field is considered as a two-dimensional random process with specified statistical properties, and it is modeled using the two-dimensional linear convolution method and the spectral method. The models of the anomalous magnetic field for various geophysical types of the Earth's surface have been obtained in their undisturbed state and during magnetic storms. These synthetic data can be used for testing and developing various application programs, particularly for autonomous navigation based on the Earth's anomalous magnetic field.

Ключевые слова: аномальное магнитное поле; двумерная свертка; спектральный метод; белый шум; корреляционная функция.

Keywords: anomalous magnetic field; two-dimensional convolution; spectral method; white noise; correlation function.

Введение. В расчетных моделях геомагнитное поле Земли представляется суммой трёх составляющих: 1) основное (или внутреннее) поле, возникающее в ядре Земли, которое составляет около 95% от общего поля на поверхности; 2) аномальное поле, возникающее в земной коре, мантии или антропогенных источниках; 3) внешнее поле, возникающее в верхних слоях атмосферы и магнитосфере и сильно зависящее от солнечной активности.

Аномальное магнитное поле Земли (далее АМПЗ) обусловлено намагниченностью горных пород верхней части земной коры, содержащих ферро – и ферримагнитные минеральные вещества. Современные сведения об АМПЗ базируются на измерениях, выполненных в процессе проведения наземной, морской, воздушной и космической магнитной съемки. Картографируемым параметром АМПЗ обычно является модуль вектора аномальной магнитной индукции и его составляющие. Цифровые карты АМПЗ с массивами данных: широта, долгота, значение модуля вектора магнитной индукции широко используются в автономной навигации [1, 2].

Следует отметить, что магнитное поле Земли подвержено различного рода вариациям и значительно изменяется с течением времени, что требует постоянного обновления баз геомагнитных данных. Поскольку процесс актуализации карт магнитного поля Земли является дорогим и трудоемким, в настоящее время в нашей стране обновление данных карт АМПЗ выполняется лишь для некоторых выделенных районов, например, для участка Северо-Востока РФ (рисунок 1).

Рисунок 1. Аномальное магнитное поле участка Северо-Востока РФ

Существует также несколько математических геомагнитных моделей, которые основаны на разложении геомагнитного потенциала по сферическим гармоникам. Среди них - международное геомагнитное поле IGRF, отдельные глобальные модели полей аномалий, такие как сетка магнитных аномалий Земли EMAG или всемирная цифровая карта магнитных аномалий WDMAM [3].

Однако при отработке методов решения задачи автономной навигации и тестировании соответствующих программных кодов представляют интерес локальные карты магнитных аномалий выделенных областей протяженностью до ~100 км с шагом сетки не более 1 угловой минуты. В этом случае проще моделировать АМПЗ как двумерный случайный процесс с заданными статистическими свойствами, в частности, с заданной длиной пространственной корреляции, что позволяет сохранить связность и свойства реального АМПЗ. Кроме этого, такой подход позволяет моделировать вариации магнитного поля, вызванные магнитными бурями.

Методы моделирования. Существует два традиционных метода моделирования двумерных процессов с заданной корреляционной функцией – метод двумерной линейной свертки и спектральный метод [4, 5].

При использовании метода двумерной линейной свертки дискретный случайный двумерный процесс В(x,y) с заданными корреляционными свойствами можно получить путем вычисления свертки некоррелированного процесса n(x, y) с требуемой корреляционной функцией  R(x, y).

Для этого формируется выборка некоррелированного случайного поля , выполняется дискретизация заданной корреляционной функции и вычисляются отсчеты искомого процесса  по формуле (1).

                                                    (1)

В основе спектрального метода моделирования лежит теорема Винера-Хинчина [4], согласно которой корреляционная функция процесса связана с его спектральной плотностью через преобразование Фурье. Для моделирования коррелированного случайного поля формируется выборка некоррелированного случайного процесса n_ij. С помощью прямого преобразования Фурье по заданной корреляционной функции определяется форма двумерного формирующего фильтра   и вычисляется спектр исходного процесса  . Спектр результирующего двумерного коррелированного процесса определяется по формуле (2).

                                             (2)

Реализации  вычисляются путем применения обратного преобразования Фурье к спектру

Результат. Приведенные методы были использованы для моделирования аномального магнитного поля в локальных областях различных геологических типов поверхности Земли. Для каждого типа поверхности задавался свой диапазон изменения аномалий в нТл и параметр пространственной корреляции  (который отражает масштаб и протяжённость аномалий в пространстве). Значения  менялись от 4 (для локальной рудной зоны) до 25 (для материкового щита) [6]. В качестве некоррелированного случайного процесса n_ij рассматривался белый гауссовский шум с нулевым средним значением и единичной дисперсией. Корреляционная функция задавалась как гауссова или экспоненциальная (для рифтовой зоны).

Крупномасштабные возмущения, характерные для магнитной бури, моделировались также как основное поле, но с использованием низкочастотного фильтра (задавались значения ~7). Рассматривалась сильная буря с интенсивностью 200 - 400 нТл. Затем эти возмущения накладывались на исходное магнитное поле. Такой подход соответствует физическим свойствам реальных магнитных бурь (хаотичность, крупномасшабность, сохранение фоновых аномалий).

Результаты моделирования АМПЗ для заданных областей, полученные методом свертки и спектральным методом показаны на рисунках 2 и 3.

Рисунок 2. Результаты моделирования АМПЗ методом двумерной свертки

Рисунок 3. Результаты моделирования АМПЗ спектральным методом

Как видно из рисунков 2 и 3, при одинаковых корреляционных функциях и значениях , метод свертки дает более размытую картину АМПЗ, что ограничивает его применение при больших . Более универсальным, в этом смысле, является спектральный метод. При этом при моделировании возмущений, вызванных магнитной бурей, существенных различий между методами не выявлено.

Выводы. Для генерации цифровых моделей аномального магнитного поля Земли в выделенных локальных областях могут быть использованы такие методы моделирования двумерных случайных процессов с заданными корреляционными свойствами, как метод свертки и спектральный метод. Выбор параметров моделирования должен соответствовать геофизическому типу поверхности земной коры в рассматриваемой области.

Для АМПЗ в невозмущенном состоянии более универсальным и естественным для моделирования как крупно‑, так и мелкомасштабных структур, представляется спектральный метод. Кроме этого, он требует меньших временных затрат и оперативной памяти по сравнению с методом свертки.

Флуктуации АМПЗ во время магнитной бури можно моделировать любым рассмотренным методом, используя при этом низкочастотный фильтр для создания плавных крупномасштабных изменений аномалий. Такой подход даёт баланс между физичностью и простотой: он воспроизводит ключевые черты магнитных бурь, оставаясь вычислительно эффективным и легко настраиваемым.

Полученные синтетические данные могут быть использованы для тестирования и отработки различных прикладных программ, в частности, при решении задачи автономной навигации по аномальному магнитному полю Земли.

Список литературы:

1. Джанджгава, Г.И. Навигация и наведение по пространственным геофизическим полям // Известия ЮФУ. Технические науки. – 2013. – № 3 (140). – С. 74-84.
2. Минлигареев, В.Т. Картографическое обеспечение магнитометрических навигационных систем робототехнических комплексов // Известия ЮФУ. Технические науки. – 2019. – № 1. – С.248-255.
3. Jean‑Francois Oehler, Didier Rouxel and Marie‑Francoise Lequentrec‑Lalancette. Comparison of global geomagnetic fieldmodels and evaluation using marine datasets in the north‑eastern Atlantic Ocean and western Mediterranean Sea. Earth, Planets and Space, 70:99 – 2018. - URL: https://doi.org/10.1186/s40623-018-0872-y (дата обращения 15.10.2025).
4. Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике. - М.: Советское радио, 1971.  – 440 с.
5.  Борцова М. В. Моделирование земной поверхности с негауссовым распределением высот // Новые информационные технологии в автоматизированных системах. – 2012. – № 15. – С. 121–129.
6. Середкина А.И., Филиппов С.В. Глубины залегания магнитных источников в Арктике и их связь с параметрами литосферы // Геология и геофизика. – 2021. – Т. 62. – № 7. – С. 902–916.