УРАВНИВАНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ СЕТЕЙ С ПОМОЩЬЮ EFT POST PROCESSING И МЕТОДОМ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

IMPROVEMENT OF GEOSPATIAL DATA PROCESSING ALGORITHMS USING MATHEMATICAL PROGRAMMING TOOLS

Puerova Elizaveta Antonovna

Bachelor, State University of Land Management,

Russia, Moscow

Tihonov Aleksander Dmitrievich

Candidate of Technical Sciences, Associate Professor of the Department of Geodesy and Geoinforatics, State University of Land Management,

Russia, Moscow

АННОТАЦИЯ

В современной геодезии уравнивание геодезических спутниковых сетей является важной задачей, использующейся для получения наиболее точных координат. В данной статье рассматриваются вопросы уравнивания геодезических спутниковых сетей как задачи математического программирования, и на конкретных примерах описан процесс подготовки исходных данных в Excel и решения с помощью надстройки "Поиск решения" в Excel.

В современной геодезии и геоинформационных системах геодезические спутниковые сети имеют большое значение, ведь они позволяют с высокой точностью и эффективностью определить координаты точек на земной поверхности. Однако для достижения такой точности необходимо уровнять спутниковые сети: устранить несоответствия в измерениях и систематические ошибки.

Уравнивание геодезических спутниковых сетей может быть рассмотрено в качестве задачи математического программирования, и в статье представлен подход к решению этой задачи с использованием программы Excel. Перед процессом уравнивания необходимо подготовить и импортировать в Excel исходные данные, которые включают в себя наборы измерений спутниковой сети.

Целевую функцию, минимизирующую сумму квадратов поправок, можно задать, используя надстройку "Поиск решения" в Excel. При таком подходе можно найти решение, при этом обеспечивается строгое выполнение всех заданных условий. В данной статье для наглядности приведены конкретные случаи уравнивания геодезических спутниковых сетей. В каждом примере представлены исходные данные, целевая функция и полученные решения, а эффективность и точность предложенного подхода демонстрируются, в свою очередь, приведенными результатами.

ABSTRACT

In modern geodesy, the alignment of geodetic satellite networks is an important task used to obtain the most accurate coordinates. This article discusses the issues of equalizing geodetic satellite networks as a mathematical programming problem, and describes the process of preparing source data in Excel and solutions using the "Solution Search" add-in in Excel using specific examples.

In modern geodesy and geoinformation systems, geodetic satellite networks are of great importance, because they allow you to determine the coordinates of points on the earth's surface with high accuracy and efficiency. However, to achieve such accuracy, it is necessary to level satellite networks: eliminate measurement inconsistencies and systematic errors.

The equalization of geodetic satellite networks can be considered as a mathematical programming problem, and the article presents an approach to solving this problem using the Excel program. Before the equalization process, it is necessary to prepare and import the source data into Excel, which includes sets of measurements of the satellite network.

The target function that minimizes the sum of squares of corrections can be set using the "Solution Search" add-in in Excel. With this approach, a solution can be found, while ensuring strict compliance with all specified conditions. This article provides specific cases of equalization of geodetic satellite networks for clarity. Each example presents the initial data, the objective function and the solutions obtained, and the effectiveness and accuracy of the proposed approach are demonstrated, in turn, by the results presented.

Ключевые слова: геодезические сети, уравнивание, математическое программирование, оптимизационное моделирование, Excel, надстройка «Поиск решения».

Keywords: geodetic satellite networks, equalizing, mathematical programming, optimizing modeling, Excel, «Search of the decision».

Введение

Общая задача уравнивания геодезических измерений методами математического программирования сформулирована в [1] в следующем виде.

Требуется найти минимум целевой функции

при условиях:

где  – количество измеренных величин,

 - количество избыточных измерений,

 – целевая функция,

 – вес измерения,

 – функция (зависимость),

 - линейные и угловые измеренные величины,

- поправки к измеренным величинам.

В данной работе рассмотрено применение математического программирования для уравнивания геодезических сетей, построенных с помощью высокоточной спутниковой аппаратуры спутниковой (геодезические спутниковые сети).

Для примера рассмотрим фрагмент сети из 6 пунктов, на которых были проведены синхронные спутниковые наблюдения. Использовалась двухчастотная (L1/L2), двухсистемная (ГЛОНАСС/GPS) аппаратура. Для исключения ошибок центрирования приемники не переставлялись и высоты антенн не вводились. В этом случае мы определяем координаты фазовых центров спутниковых антенн.

В сети, схема которой представлена на рис. 1, определяются координаты 5 пунктов NALE, DOLI, PUGA, KRGR, VANI, относительно TOMA, взятого за исходный. Отсюда необходимых измерений 5. Выполнено измерений 15. Избыточных измерений 10, что в соответствии с (2) дает 10 линейно независимых условий, которые должны быть включены в оптимизационную модель.

Рисунок 1. Схема геодезической сети

После проведения постобработки получим 15 наборов приращений координат между всеми возможными парами пунктов.

В инструкции [2] сказано, что при построении геодезической сети все линии сети должны быть определены независимо. Это требование чрезвычайно важно, так как включение зависимых линий в обработку сети не позволяет правильно произвести оценку точности и надежности измерений. Для спутниковых измерений независимыми являются вектора, определённые в разные сеансы наблюдений. Следовательно, при составлении уравнений условий нужно использовать вектора, определенные в разное время.

Обработав данные и получив из каждого сеанса по 15 векторов, сформируем независимые измерения следующим образом: первый сеанс вектора TOMA - NALE, TOMA - DOLI, DOLI - KRGR, PUGA - KRGR; второй сеанс TOMA - KRGR, NALE - KRGR, TOMA - PUGA, NALE - DOLI; третий сеанс NALE - PUGA, DOLI – PUGA; четвертый сеанс KRGR -VANI, PUGA-VANI, TOMA-VANI.

Существует два «классических» способа уравнивания по методу наименьших квадратов: условных уравнений (ранее называемый коррелатный) и параметрический, которые при строгом уравнивании должны давать одинаковый результат. Алгоритмы их применения легко найти в специализированной литературе, например, в [3] и [5].

Рассмотрим оба эти подхода с позиции математического программирования.

Уравнивание в программе EFT Post Processing

Результаты уравнивания в программе EFT Post Processing импортируем в Excel.

Технология использования Excel для уравнивания спутниковой сети (рис.1) способом условных уравнений для набора измерений, показана в рисунке 1.

Таблица 1.

Пример, на котором показано уравнивание спутниковой сети способом условных уравнений

Таблица 2.

Пример, на котором показан результат уравнивания

Таблица 3.

Пример, на котором показаны поправки после уравнивания

Метод математического программирования

Обозначим матрицу измеренных приращений координат D, а ее элементы, приращения координат между пунктами i и j по каждой из осей, через  

Обозначим, соответственно, матрицу поправок к измеренным при ращениям координат через V, а ее элементы, поправки к приращениям координат между пунктами i и j по каждой из осей, через

Уравнения условий типа (2) в этом случае формируем для замкнутых фигур. В любой замкнутой фигуре сумма приращений координат (с учетом направления векторов) должна равняться нулю. Каждое условие должно содержать измерения хотя бы из двух разных сеансов.

Так в сети (Рис. 1) для треугольника с вершинами 1-2-3 получим условия:

Для каждой фигуры можно записать условия типа (4). При этом, т.к. у нас 10 избыточных измерений, то только по шести фигурам условия могут быть независимыми, а по остальным 16 фигурам условия будут линейными комбинациями независимых. Если в систему условий не войдет какое - либо независимое условие, то в результате уравнивания оно не будет выполнено (его невязка не обратится в ноль). Отметим, что в отличие от классических методов, требующих формировать систему условий только из линейно независимых уравнений, методы математического программирования позволяют включать и зависимые условия. Это упрощает подготовку, т.к. выделить все независимые условия часто непросто. Задача (3), (4) это задача квадратичного программирования, где целевая функция квадратична, а все условия линейны. Для решения таких задач разработаны соответствующие методы. Широко известен, например, градиентный метод Франк – Вульфа. Развитием этого направления является метод обобщенного приведенного градиента (ОПГ). Проще всего использовать этот метод в программе Excel, где он реализован в надстройке «Поиск решения» [1]. Технология использования Excel для уравнивания спутниковой сети (Рис.1) способом условных уравнений для набора измерений, соответствующего GPS L1, показана в Таблице 4.

Таблица 4.

Исходные данные удобно располагать в указанном порядке: матрица измеренных приращений координат D, матрица поправок к из меренным приращениям V, условия по включенным в уравнивание замкнутым фигурам. При таком расположении данных, достаточно для каждой фигуры набрать первое условие (по оси X) и скопировать его в две следующие строки (получим условия по осям Y и Z).

Поскольку начальное значение всех поправок принято равным нулю, в столбце G видим величины невязок (невыполнение в условиях (4) равенства нулям). Величины невязок характеризуют точность измерений и позволяют выявлять грубые ошибки. Представляется полезным включать в таблицу все возможные условия по замкнутым контурам. При этом до решения мы увидим величины невязок по всем условиям, а после решения сможем проверить, что все не вязки стали равны нулю.

В столбце J (строки 11-16) находятся целевая функция ∑vv (до уравнивания она равна нулю) и сумма квадратов невязок ∑ww.

Собственно решение сводится к вызову надстройки «Поиск решения» (на вкладке данные), указанию в окне Параметры поиска решения адреса ячейки целевой функции, указанию адресов ячеек искомых переменных, заданию ограничений и запуску решения.

В результате решения задачи уравнивания все невязки должны стать равными нулю (все поставленные условия должны быть выполнены), а полученные поправки должны обеспечить минимальное значение целевой функции (Таблица 5).

Таблица 5.

Выше рассмотрено уравнивание способом условных уравнений свободной геодезической спутниковой сети.

В несвободной сети присутствуют два или более твердых пункта, координаты которых не подлежат изменению. При этом уменьшается число необходимых измерений, соответственно, увеличивается число избыточных измерений и возникают дополнительные условия по ходам между твердыми пунктами.

Результаты эксперимента

Таблица 6.

Сравнение классического алгоритма и метода математического программирования

Исходя из представленных данных, можно сделать вывод о том, что метод математического программирования показывает более высокую точность уравнивания.

Выводы

По полученным результатам можно сделать вывод, что метод математического программирования эффективно решает задачи уравнивания спутниковых сетей. Обращение невязки в ноль и минимум соответствующей целевой функции были достигнуты во всех случаях после уравнивания.

Важным преимуществом математического программирования является возможность учета линейно независимых и зависимых условий, а также обнаружения ошибок, таких как пропуск независимых условий (их невязки не обратятся в ноль), также преимуществом является возможность включения в систему условий не только равенств, но и неравенств, что позволяет при необходимости ограничивать величины искомых поправок или расширять область допустимых решений если строгое выполнение некоторых условий не требуется.

Исходя из выше сказанного, метод математического программирования является более результативным при решении задачи уравнивания спутниковых сетей.

Список литературы:

1. Коробочкин М. И. Математическое моделирование в геодезии: учебное пособие. – М.: Государственный университет по землеустройству, 2012. – 316 с.
2. Браверман Б. А. Программное обеспечение геодезии, фотограмметрии, кадастра, инженерных изысканий: учебное пособие. – 2-е изд. – М.; Вологда: Инфра-Инженерия, 2025. – 244 с.
3. Падве В. А. Математическая обработка и анализ результатов геодезических измерений: монография: в 2 ч. Ч. 1. Основы теории погрешностей измерений и фундаментальные алгоритмы точностной МНК-оптимизации результатов измерений. – Новосибирск: СГУГиТ, 2015. – 163 с.
4. Падве В. А. Математическая обработка и анализ результатов геодезических измерений: монография: в 2 ч. Ч. 2. Синтезированные и комбинированные алгоритмы точностной МНК-оптимизации и анализа результатов измерений. – Новосибирск: СГУГиТ, 2018. – 135 с.
5. Шпильман А. В., Алтунин А. Е. Интеллектуальные геоинформационные технологии для вероятностных и нечетких расчетов и оптимизации для ГЕОТЭП и СМН при определении оптимального расположения, ранжирования поисково-разведочных скважин и картирования // Известия высших учебных заведений. Нефть и газ. – 2025. – № 2. – С. 69–84.
6. Борзенко Г. Б., Николаев А. Ю. Современные методы оптимизации DFN-моделей при комплексировании геолого-геофизических данных // Экспозиция Нефть Газ. – 2025. – № 1. – С. 36–43. –
7. Макарова С. О., Тихонова А. Д. Сравнение координат, уравненных методом математического программирования и современным коммерческим ПО // Материалы, оборудование и ресурсосберегающие технологии: материалы науч.-практ. конф. – Могилёв, 2023. – С. [уточнить].
8. Тихонов А. Д., Коробочкин М. И. Сравнение основных методов уравнивания линейно-угловых геодезических построений // Актуальные проблемы картографо-геодезического обеспечения землеустройства, кадастров и охраны земель: материалы междунар. науч.-практ. конф. (Москва, 16–18 марта 2020 г.). – М., 2020. – С. 103–111.
9. Коробочкин М. И., Тихонов А. Д. Уравнивание спутниковых геодезических сетей методом математического программирования // Землеустроительное образование и наука: от XVIII к XXI веку: материалы междунар. науч.-практ. форума, посвящённого 240-летию основания Государственного университета по землеустройству. – М., 2019. – С. 64–71.