СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ АЛГОРИТМОВ ОБРАБОТКИ ГЕОПРОСТРАНСТВЕННЫХ ДАННЫХ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СРЕДСТВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

​IMPROVEMENT OF GEOSPATIAL DATA PROCESSING ALGORITHMS USING MATHEMATICAL PROGRAMMING TOOLS

Puerova Elizaveta Antonovna

Bachelor, State University of Land Management,

Russia, Moscow

Tihonov Aleksander Dmitrievich

Candidate of Technical Sciences NA UK, Associate Professor of the Department of Geodesy and Geoinformatics, State University of Land Management,

Russia, Moscow

АННОТАЦИЯ

В статье рассмотрены существующие и перспективные методы обработки геопространственной информации. Основное внимание уделено оптимизации алгоритмов при работе с большими массивами данных (в т. ч. полученных с помощью тахеометра и лазерного сканера) и повышению надёжности оценки точности результатов.

Проанализированы классические и современные подходы к уравниванию геодезических данных — процедуре, необходимой для получения однозначного решения и оценки погрешности при наличии избыточных измерений (когда для одной точки существует несколько наборов координат).

В качестве базового метода рассмотрен метод наименьших квадратов (МНК), предложенный К.Ф.Гауссом в 1809 году. Описаны сложности его применения к масштабным системам уравнений в условиях ограниченных вычислительных мощностей прошлого.

Показаны перспективы использования современных математических методов оптимизации.

Отмечена простота реализации этих методов на практике, в т. ч. с использованием доступных инструментов, таких как надстройка «Поиск решения» в программе Excel.

ABSTRACT

The article examines existing and promising methods for processing geospatial information. The main focus is on optimizing algorithms when working with large datasets (including those obtained using a total station and a laser scanner) and improving the reliability of accuracy assessment of the results.

The paper analyses classical and modern approaches to the adjustment of geodetic data — a procedure necessary to obtain a unique solution and estimate the error in the presence of redound ant measurements (when multiple sets of coordinates exist for a single point).

As the baseline method, the least‑squares method (LSM), proposed by C.F.Gauss in 1809, is considered. The challenges of applying this method to large‑scale systems of equations under the limited computing power of the past are described.

The prospects of using modern mathematical optimization techniques are demonstrated. method.

The ease of implementing these methods in practice is highlighted, including the use of accessible tools such as the “Solver” add‑in in Microsoft Excel.

Ключевые слова: пространственные данные, координаты, алгоритмы обработки, фильтр Калмана, ГИС, навигационные системы, спутниковое позиционирование, интерполяция, математическое моделирование, оптимизация.

Keywords: spatial data, coordinates, data processing algorithms, Kalman filter, GIS, navigation systems, satellite positioning, interpolation, mathematical modelling, optimization.

Введение

Общая задача уравнивания геодезических измерений методами математического программирования сформулирована в [1] в следующем виде.

Требуется найти минимум целевой функции

                                                                     (1)

при условиях:

                                                          (2)

где  – измеренных ,

 - избыточных ,

 – целевая ,

 – вес ,

 – функция (),

 - линейные угловые величины,

- к величинам.

В данной работе рассмотрено применение математического программирования для уравнивания геодезических сетей, построенных с помощью высокоточной спутниковой аппаратуры спутниковой (геодезические спутниковые сети).

Для примера рассмотрим фрагмент сети из 4 пунктов, на которых были проведены синхронные спутниковые наблюдения. Использовалась двухчастотная (L1/L2), двухсистемная (ГЛОНАСС/GPS) аппаратура. Для исключения ошибок центрирования приемники не переставлялись и высоты антенн не вводились. В этом случае мы определяем координаты фазовых центров спутниковых антенн.

Данные обрабатывались на сайте WebPPP - сервис апостериорной (отложенной) обработки спутниковых измерений — то есть он не даёт данных в реальном времени, а обрабатывает уже собранные файлы для получения максимально точных координат.

В сети, схема которой представлена на рис. 1, определяются координаты 3 пунктов EKTB, KAUR, TMN2, относительно ALAP, взятого за исходный. Отсюда необходимых измерений 3. Выполнено измерений 6. Избыточных измерений 3, что в соответствии с (2) дает 3 линейно независимых условий, которые должно быть включены в оптимизационную модель.

Рисунок 1. Схема геодезической сети

После проведения постобработки получим 3 набора приращений координат между всеми возможными парами пунктов.

В инструкции [2] сказано, что при построении геодезической сети все линии сети должны быть определены независимо. Это требование чрезвычайно важно, так как включение зависимых линий в обработку сети не позволяет правильно произвести оценку точности и надёжности измерений. Для спутниковых измерений независимыми являются вектора, определённые в разные сеансы наблюдений. Следовательно, при составлении уравнений условий нужно использовать вектора, определенные в разное время.

Обработав данные и получив из каждого сеанса по 6 векторов, сформируем независимые измерения следующим образом: первый сеанс вектора EKTB-KAUR, ALAP-TMN2; второй сеанс EKTB-ALAP, KAUR-TMN2, третий сеанс EKTB-TMN2, ALAP-KAUR

Существует два «классических» способа уравнивания по методу наименьших квадратов: условных уравнений (ранее называемый коррелатный) и параметрический, которые при строгом уравнивании должно давать одинаковый результат. Алгоритмы их применения легко найти в специализированной литературе, например, в [3] и [5].

Метод математического программирования

Обозначим матрицу измеренных приращений координат D, а ее элементы, приращения координат между пунктами i и j по каждой из осей, через  

Обозначим, соответственно, матрицу поправок к измеренным приращениям координат через V, а ее элементы, поправки к приращениям координат между пунктами i и j по каждой из осей, через

                                                                            (3)

Уравнения условий типа (2) в этом случае формируем для замкнутых фигур. В любой замкнутой фигуре сумма приращений координат (с учётом направления векторов) должна равняться нулю. Каждое условие должно содержать измерения хотя бы из двух разных сеансов.

Так в сети (Рис. 1) для треугольника с вершинами 1-2-3 получим условия:

                                                         (4)

Всего в сети 4 треугольников, 1 четырехугольник. Для каждой фигуры можно записать условия типа (4). При этом, т.к. у нас 3 избыточных измерений, то только по шести фигурам условия могут быть независимыми, а по остальным 3 фигурам условия будут линейными комбинациями независимых. Если в систему условий не войдёт какое - либо независимое условие, то в результате уравнивания оно не будет выполнено (его невязка не обратится в ноль).

Отметим, что в отличие от классических методов, требующих формировать систему условий только из линейно независимых уравнений, методы математического программирования позволяют включать и зависимые условия. Это упрощает подготовку, т.к. выделить все независимые условия часто непросто. Задача (3), (4) это задача квадратичного программирования, где целевая функция квадратична, а все условия линейны.

Для решения таких задач разработаны соответствующие методы. Широко известен, например, градиентный метод Франк – Вульфа. Развитием этого направления является метод обобщенного приведённого градиента (ОПГ). Проще всего использовать этот метод в программе Excel, где он реализован в надстройке «Поиск решения» [1]. Технология использования Excel для уравнивания спутниковой сети (Рис.1) способом условных уравнений для набора измерений, соответствующего GPS L1, показана в Таблице 2.

Таблица 2.

Исходные данные удобно располагать в указанном порядке: матрица измеренных приращений координат D, матрица поправок к из меренным приращениям V, условия по включённым в уравнивание замкнутым фигурам. При таком расположении данных, достаточно для каждой фигуры набрать первое условие (по оси X) и скопировать его в две следующие строки (получим условия по осям Y и Z).

Поскольку начальное значение всех поправок принято равным нулю, в столбце G видим величины невязок (невыполнение в условиях (4) равенства нулям). Величины невязок характеризуют точность измерений и позволяют выявлять грубые ошибки. Представляется полезным включать в таблицу все возможные условия по замкнутым контурам. При этом до решения мы увидим величины невязок по всем условиям, а после решения сможем проверить, что все невязки стали равны нулю.

В столбце J (строки 11-16) находятся целевая функция ∑vv (до уравнивания она равна нулю) и сумма квадратов невязок ∑ww.

Собственно решение сводится к вызову надстройки «Поиск решения» (на вкладке данные), указанию в окне Параметры поиска решения адреса ячейки целевой функции, указанию адресов ячеек искомых переменных, заданию ограничений и запуску решения.

В результате решения задачи уравнивания все невязки должно стать равными нулю (все поставленные условия должны быть выполнены), а полученные поправки должны обеспечить минимальное значение целевой функции (Таблица 3).

Таблица 3.

Выше рассмотрено уравнивание способом условных уравнений свободной геодезической спутниковой сети.

В несвободной сети присутствуют два или более твердых пункта, координаты которых не подлежат изменению. При этом уменьшается число необходимых измерений, соответственно, увеличивается число избыточных измерений и возникают дополнительные условия по ходам между твердыми пунктами.

Выводы

Полученные результаты показывают, что оптимизационные методы математического программирования позволяют эффективно решать задачи уравнивания спутниковых сетей.

Прежде всего, после уравнивания во всех случаях получили строгое выполнение всех поставленных условий (все невязки обратились в ноль). При этом каждый раз достигался минимум соответствующей целевой функции. Таким образом, метод обобщенного приведённого градиента успешно справился и с моделью условных уравнений и с параметрической моделью, как в случае свободной, так и в случае несвободной сети.

Список литературы:

1. Коробочкин М. И. Математическое моделирование в геодезии : учебное пособие. – М. : Государственный университет по землеустройству, 2012. – 316 с.
2. Браверман Б. А. Программное обеспечение геодезии, фотограмметрии, кадастра, инженерных изысканий : учебное пособие. – 2-е изд. – М. ; Вологда : Инфра-Инженерия, 2025. – 244 с.
3. Падве В. А. Математическая обработка и анализ результатов геодезических измерений : монография : в 2 ч. Ч. 1. Основы теории погрешностей измерений и фундаментальные алгоритмы точностной МНК-оптимизации результатов измерений. – Новосибирск : СГУГиТ, 2015. – 163 с.
4. Падве В. А. Математическая обработка и анализ результатов геодезических измерений : монография : в 2 ч. Ч. 2. Синтезированные и комбинированные алгоритмы точностной МНК-оптимизации и анализа результатов измерений. – Новосибирск : СГУГиТ, 2018. – 135 с.
5. Шпильман А. В., Алтунин А. Е. Интеллектуальные геоинформационные технологии для вероятностных и нечетких расчетов и оптимизации для ГЕОТЭП и СМН при определении оптимального расположения, ранжирования поисково-разведочных скважин и картирования // Известия высших учебных заведений. Нефть и газ. – 2025. – № 2. – С. 69–84.
6. Борзенко Г. Б., Николаев А. Ю. Современные методы оптимизации DFN-моделей при комплексировании геолого-геофизических данных // Экспозиция Нефть Газ. – 2025. – № 1. – С. 36–43. –
7. Макарова С. О., Тихонова А. Д. Сравнение координат, уравненных методом математического программирования и современным коммерческим ПО // Материалы, оборудование и ресурсосберегающие технологии: материалы науч.-практ. конф. – Могилёв, 2023. – С. [уточнить].
8. Тихонов А. Д., Коробочкин М. И. Сравнение основных методов уравнивания линейно-угловых геодезических построений // Актуальные проблемы картографо-геодезического обеспечения землеустройства, кадастров и охраны земель: материалы междунар. науч.-практ. конф. (Москва, 16–18 марта 2020 г.). – М., 2020. – С. 103–111.
9. Коробочкин М. И., Тихонов А. Д. Уравнивание спутниковых геодезических сетей методом математического программирования // Землеустроительное образование и наука: от XVIII к XXI веку: материалы междунар. науч.-практ. форума, посвящённого 240-летию основания Государственного университета по землеустройству. – М., 2019. – С. 64–71.