РАЗРАБОТКА МОДУЛЯ ФИЛЬТРАЦИИ В СИСТЕМЕ ВИЗУАЛИЗАЦИИ ДИСКРЕТНОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ

​DEVELOPMENT OF FILTERING MODULE IN DISCRETE SIGNAL PROCESSING VISUALIZATION SYSTEM

Kostenko Vladimir Dmitrievich

Student of the field of study 09.04.01, Moscow Aviation University Institute (National Research University),

Russia, Moscow

Shestopalova Olga Lvovna

Scientific supervisor, Ph.D., Associate Professor, Head of the B21 Department, Moscow Aviation Institute (National Research University),

Russia, Moscow

АННОТАЦИЯ

В работе представлен модуль фильтрации системы визуализации результатов дискретной обработки сигналов. Необходимостью в разработке модуля системы является предоставление обучающимся и преподавателям наглядного инструмента для изучения цифровых фильтров, их частотных характеристик и влияния параметров фильтра на формы заданных сигналов. Исследуются методы идеальной фильтрации на базе sinc-ядра, оконные FIR-фильтры (Finite Impulse Response, Конечная Импульсная Характеристика, КИХ-фильтры) и рекурсивные IIR-фильтры (Infinite Impulse Response, Бесконечная Импульсная Характеристика, БИХ-фильтры) Баттерворта и Чебышёва. Модуль необходим для предоставления обучающимся возможности проектирования фильтров, визуализации исходного, дискретного и отфильтрованного сигналов, а также анализ поведения фильтров на различные типы сигналов. Представлены теоретические аспекты, алгоритмы проектирования, ожидаемые результаты и практическая ценность модуля. Работа является продолжением ранее выполненных исследований в данной области [1-2].

ABSTRACT

The work presents a filtering module for a system designed to visualize the results of discrete signal processing. The need for developing such a module lies in providing students and instructors with a clear and intuitive tool for studying digital filters, their frequency characteristics, and the influence of filter parameters on the shapes of given signals. The study examines ideal filtering methods based on the sinc kernel, windowed FIR filters, and recursive IIR filters of Butterworth and Chebyshev types. The module is intended to give learners the ability to design filters, visualize the original, discrete, and filtered signals, and analyze filter behavior for various signal types. Theoretical aspects, filter design algorithms, expected outcomes, and the practical value of the module are presented. The work is a continuation of previously conducted research in this area [1–2].

Ключевые слова: цифровая обработка сигналов; интерполяция; сигнал; генератор; осциллограф, фильтры, КИХ, БИХ.

Keywords: digital signal processing; interpolation; signal; generator; oscilloscope, filters, IIR, FIR.

Фильтрация является ключевой операцией цифровой обработки сигналов. Она применяется для подавления шумов, выделения полезных характеристик и формирования частотной структуры сигналов. В учебной практике демонстрация фильтров ограничена статическими примерами, что снижает наглядность и препятствует глубокому пониманию их поведения при разных параметрах [3].

Современные образовательные инструменты требуют интерактивной визуализации, позволяющей в реальном времени наблюдать изменения формы сигнала под воздействием цифровых фильтров. Разработка модуля фильтрации в составе системы визуализации дискретных сигналов обеспечивает обучающимся возможность экспериментировать с параметрами частоты среза, порядком фильтра, типом окна и характеристиками IIR-фильтров.

Создание полнофункционального модуля фильтрации позволит решать задачи обучения цифровой обработке сигналов, в которых необходимы теоретические знания и практическая демонстрация.

Задачами разработки модуля являются:

1. Реализовать поддержку следующих цифровых фильтров:

- идеальный НЧ-фильтр (низкой частоты) на базе sinc-функции;

- оконные FIR-фильтры (Хэмминг, Блэкмана-Харриса);

- IIR-фильтры Баттерворта;

- IIR-фильтры Чебышёва I рода.

2. Обеспечить корректное проектирование фильтров по следующим параметрам:

- частота среза;

- порядок фильтра;

- допустимая рябь в полосе пропускания (для Чебышёва).

3. Создать интерфейс для отображения отфильтрованного сигнала.

Цифровые фильтры — это системы, преобразующие входной сигнал  в выходной , подавляя или усиливая определённые частотные компоненты.

Основные задачи фильтрации:

- подавление шума;

- сглаживание;

- выделение полосы частот;

- устранение высокочастотных выбросов;

- формирование спектра сигнала.

Передаточная функция цифрового фильтра определяется по следующей формуле (1):

,                                                                           (1)

где:    – частотная характеристика цифрового фильтра на цифровой угловой частоте , комплексная функция;

 – дискретный индекс времени (отсчёт), целое число;

 – длина импульсной характеристики;

 – импульсная характеристика фильтра;

 – мнимая единица

– цифровая угловая частота в отсчёт.

FIR-фильтры – это фильтры, имеющие конечную импульсную характеристику. Выделяются следующие виды FIR-фильтры, а также их описание:

1. Идеальный НЧ-фильтр (sinc-ядро). Данный фильтр имеет преимущества в виде линейной фазы и устойчивости (нет обратной связи) и недостатки в виде бесконечного ядра (требуется усечение) и медленного переходного процесса. Идеальный фильтр определяется через sinc-функцию (2):

,                                                          (2)

где:    – импульсная характеристика НЧ-фильтра длины ;

– частота среза;

 – дискретный отсчёт;

 – длина конечного усечённого ядра (количество отсчётов);

– нормированная sinc-функция.

2. Оконные FIR-фильтры. Оконные методы имеют преимущества в виде простоты реализации, отсутствия нестабильности, высокой точности подавления ВЧ-составляющих (высокочастотных), и следующие недостатки в виде размытого переходного участка и необходимости фильтров большой длины. Для уменьшения боковых лепестков идеальное ядро умножают на окно (3):

,                                                                               (3)

где:   – импульсная характеристика оконного FIR;

 – дискретный отсчёт;

– идеальное ядро длины ;

– оконная функция длины , сглаживающая края и уменьшающая боковые лепестки.

Окно Хэмминга и окно Блэкмана-Харриса относятся к FIR-фильтрам.

Для окна Хэмминга применяется следующая функция (4):

,                                                                (4)

где:   – оконная функция;

 – дискретный отсчёт;

 –количество отсчётов;

0,54 и 0,46 – стандартные параметры окна Хэмминга.

Для окна Блэкмана-Харриса применяется следующая функция (5):

,                                    (5)

где:    – оконная функция;

 – дискретный отсчёт;

 –количество отсчётов;

 – коэффициенты окна Блэкмана-Харриса (классические значения: , но могут немного варьироваться по источникам).

3. IRR-фильтры, имеющие рекурсивную структуру (6):

,                                                           (6)

где:    – выходной сигнал (отсчёты)

 – входной сигнал;

 – коэффициенты числителя (FIR-часть), ;

– коэффициенты знаменателя (рекурсивная часть), ;

– порядок числителя;

– порядок знаменателя.

Фильтры Баттерворта и фильтры Чебышёва 1 рода относятся к IIR-фильтрам. Фильтр Баттерворта имеет плавный спектр без ряби и хорошее подавление, но имеет нелинейную фазу. Данный фильтр характеризуется максимальной гладкой АЧХ (амплитудно-частотной характеристикой) (7):

,                                                                          (7)

где:    – модуль амплитудно-частотной характеристики на аналоговой угловой частоте (рад/с);

 – угловая частота среда (рад/с) у прототипа НЧ;

 – порядок фильтра (рост  делает спад круче).

Фильтр Чебышёва 1 рода имеет более крутой спад, чем у Баттерворта, но также присутствуют искажения амплитуды в полосе пропускания. Данный фильтр допускает рябь в полосе пропускания (8):

,                                                                      (8)

где:    – модуль амплитудно-частотной характеристики на аналоговой угловой частоте (рад/с);

 – угловая частота среда (рад/с) у прототипа НЧ;

 – полином Чебышёва 1 рода порядка  (также часто обозначается );

 – порядок фильтра;

 – параметр ряби в полосе пропускания (безразмерный), связь с допустимой рябью.

Ожидается, что созданный модуль обеспечит:

1. Наглядную демонстрацию действия цифровых фильтров, включая:

- подавление высокочастотной составляющей;

- сглаживание сигналов;

- выделение низкочастотных компонент.

2. Возможность сравнения FIR и IIR-фильтров как визуально и численно.

3. Интерактивное изменение параметров:

- частоты среза;

- порядка фильтра;

- коэффициента ряби.

4. Изучение следующих эффектов цифровой фильтрации:

- эффект Гиббса;

- колебания на переходах;

- влияние длины окна на подавление боковых лепестков;

- влияние порядка IIR-фильтра на фазовые искажения.

5. Образовательную ценность:

- быстрое освоение понятий полосы пропускания, полосы подавления, частоты Найквиста;

- практическое закрепление теории обработки сигналов.

Разработка модуля фильтрации в системе визуализации результатов дискретной обработки сигналов должна выполнятся поэтапно, чтобы обеспечить корректность математических моделей, удобство взаимодействия пользователя с системой и стабильность программной реализации. Каждый этап содержит анализ исходных требований, проектирование алгоритмов, реализацию интерфейса и интеграцию модуля в существующую систему визуализации сигналов.

Уточняются требования к функциональности модуля:

1) отображение трёх сигналов: исходного, дискретного и отфильтрованного;

2) возможность выбора нескольких типов цифровых фильтров:

- идеальный НЧ-фильтр (FIR, sinc);

- оконные FIR-фильтры (Хэмминг, Блэкмана–Харриса);

- IIR-фильтры Баттерворта;

- IIR-фильтры Чебышёва I рода;

3) проектирование фильтра по параметрам (частота среза, порядок, рябь);

4) интерактивное отображение сигналов с возможностью переключения каналов;

5) передача данных между основным приложением и окном фильтрации.

На этом же этапе была определена архитектура взаимодействия модулей:

- «main.py» – центральная логика вызова окна фильтрации;

- «filters.py» – реализация окна, алгоритмов фильтрации и визуализации;

- «generator.py» – источник данных (исходный и дискретный сигнал);

- «oscilloscope.py» – прототип интерфейса для построения графиков;

Выбрана стратегия автономного окна фильтрации, не влияющего на основной осциллограф, что позволяет сохранить чистоту архитектуры и избежать конфликтов с уже существующим интерфейсом.

Окно фильтрации проектируется в стиле, аналогичном окну «Осциллограф», что предоставит пользователь легкость в ориентировании в интерфейсе [4].

Реализация математической части работы модуля происходит на основе формул (2-8). Для формирования идеального sinc-ядра (FIR-фильтра) используется ручной ввод формулы по массиву . Для окна Хэмминга используется функция «hamming» из библиотеки «NumPy» по массиву  в соответствии с формулой (4) [5]. Для окна Блэкмана-Харриса импортируется функция «blackmanharris» из библиотеки «Spicy.signal» и используется по массиву  в соответствии с формулой (5). Для применения FIR-фильтра используется свёртка в соответствии с формулой (3) [6].

Реализация IIR-фильтров основана на модуле «scipy.signal». Для фильтра Баттерворта используется функция «butter» из библиотеки «scipy.signal» (в соответствии с формулой (7)). Для фильтра Чебышёва 1 рода используется функция «cheby1» из библиотеки «scipy.signal» в соответствии с формулой (8). Для применения IIR-фильтр используется функция «np.convolve» в соответствии с формулой (6).

Для применения FIR-фильтра и IIR-фильтров разработана универсальная функция «apply_filter», которая содержит в себе функции в соответствии с формулами (3, 6).

Структура математического модуля представлена в таблице 1.

Таблица 1.

Структура математического модуля фильтрации