АЛГОРИТМ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ РЕСУРСАМИ ПРЕДПРИЯТИЯ НА ОСНОВЕ ПРИНЦИПА ПРОДОЛЖЕНИЯ ТРАЕКТОРИЙ

​ENTERPRISE RESOURCE OPTIMAL CONTROL ALGORITHM BASED ON THE TRAJECTORY EXTENSION PRINCIPLE

Kokovkin Dmitry Andreevich

Postgraduate student, Tver State Technical University,

Russia, Tver

АННОТАЦИЯ

В статье предлагается алгоритм динамического прогнозирования для оптимального распределения ресурсов, основанный на принципе продолжения траекторий. Классическая вариационная задача сводится к задаче оптимального управления и решается как последовательность задач линейного программирования. Ключевой особенностью метода является применение правила LIFO для эффективного обхода вершин многогранника ограничений, что снижает вычислительную сложность и повышает точность прогноза в динамических условиях. Научная новизна заключается в комбинации динамического подхода с методом LIFO, что позволяет создавать гибкие и адаптивные системы управления ресурсами.

ABSTRACT

The article proposes a dynamic forecasting algorithm for optimal resource allocation based on the principle of trajectory continuation. The classical variational problem is reduced to an optimal control problem and is solved as a sequence of linear programming problems. The key feature of the method is the application of the LIFO rule to efficiently bypass the vertices of the constraint polyhedron, which reduces computational complexity and increases prediction accuracy under dynamic conditions. The scientific novelty lies in the combination of a dynamic approach with the LIFO method, which makes it possible to create flexible and adaptive resource management systems.

Ключевые слова: динамическое прогнозирование; оптимальное распределение ресурсов; принцип продолжения траекторий; линейное программирование.

Keywords: dynamic forecasting; optimal resource allocation; trajectory continuation principle; linear programming.

Проблема оптимального распределения ограниченных ресурсов лежит в основе множества прикладных задач в экономике, технике и управлении. Классические методы математического программирования, такие как симплекс-метод, позволяют эффективно решать статические задачи, где все параметры (доходность, затраты, ограничения) фиксированы. Однако в реальных условиях эти параметры часто изменяются во времени, что требует перехода от статического планирования к динамическому прогнозированию и адаптивному управлению.

Анализ современных исследований показывает, что существующие подходы имеют ряд ограничений для применения в динамических системах. Например, В [1] задача синтеза оптимального управления систем, описываемых моделью Лотки-Вольтерры, решена методом кусочно-постоянного управления, минимизирующего расход ресурсов. Исходная нелинейная задача преобразована в задачу математического программирования с линейным функционалом и нелинейными ограничениями, решаемую методом последовательного линейного программирования. Продемонстрированы структуры управления (1-2 ступени) и оптимальные моменты переключения. Однако метод не учитывает динамический баланс ресурсов между конкурирующими подсистемами и не решает задачу конфликтного распределения ограниченных ресурсов. В [2] транспортная задача линейного программирования применена для оптимального распределения пожарных ресурсов. Разработанная модель минимизирует стоимость перевозок при заданных ограничениях на запасы и потребности и реализована в MS Excel с использованием симплекс-метода. Однако статическая постановка задачи с фиксированными параметрами ограничивает её применение в динамических условиях, где запасы и потребности изменяются во времени. В [3] предложена модель распределения человеческих ресурсов в инженерных проектах, использующая нечеткое оценивание компетенций, жадный алгоритм для начального распределения и линейное программирование для оптимизации трудовых затрат. Однако модель не учитывает изменения в ходе проекта (задержки, новые задачи) и не предусматривает корректировку распределения ресурсов в реальном времени, что ограничивает её применение в динамической среде. В [4] предложен алгоритм на основе принципа LIFO, упрощающий обход вершин многогранника в задачах распределения ресурсов. Особенностью рассмотренной задачи является простота нахождения вершин. Однако задача динамического прогнозирования с изменяемыми параметрами изучена недостаточно. Для её решения в работе предлагается разработка алгоритма на основе принципа продолжения траекторий [5], сводящий задачу прогнозирования к последовательности задач линейного программирования, что расширяет возможности оптимизации на предприятии.

Таким образом, актуальной задачей является разработка метода, который не только находит оптимальное решение в текущий момент, но и способен прогнозировать и адаптировать стратегию распределения ресурсов на будущее в условиях изменяющихся параметров.

Научная новизна исследования заключается в комбинации этого динамического подхода с использованием правила LIFO (Last In, First Out) для эффективного обхода вершин многогранника ограничений на каждом шаге. Это сочетание позволяет существенно сократить вычислительные затраты по сравнению с прямыми методами и повысить точность прогнозирования.

Принцип продолжения траекторий представляет собой вычислительную процедуру, изучающую эволюцию структуры оптимального решения при расширении временного горизонта задачи. Метод реализуется следующим образом: в каждой точке оптимальной траектории формулируется соответствующая локальная вариационная задача. При возникновении новых нерегулярностей, обусловленных расширением временного интервала, формируется уточненная локальная задача. Решение данной задачи позволяет определить новые управляющие режимы и моменты переключения, которые интегрируются в структуру оптимальной траектории в исследуемый момент времени. Доказано, что траектория, построенная по указанному принципу, удовлетворяет условиям локального оптимума.

Задача прогнозирования может быть сформулирована в следующем виде [4]:

при этом должны быть выполнены ограничения:

где , , , M – некоторые заданные числа, а  – функция, численно характеризующая количество ресурсов.

Задача (1) – (3) представляет собой обычную задачу квазистатической оптимизации [5]. Для ее решения мы сведем ее к стандартной задаче оптимального управления. Для этого, следуя [5], введем новые переменные:

и

где 

Тогда задача (1) – (3) формально сводится к следующей задаче:

где  – некоторые действительные числа.

Это есть стандартная задача оптимального управления, для ее решения в источнике предложен эффективный алгоритм, которым мы воспользуемся [5].

Решение задачи с помощью принципа продолжения траекторий

Применяемый в работе принцип продолжения траекторий заключается в редукции исходной задачи оптимального управления к последовательности задач линейного программирования. Особенностью рассматриваемой задачи является её линейность по управляющему воздействию, что гарантирует нахождение оптимального решения в одной из вершин многогранника решений. При этом решение сохраняется на этой вершине в течение некоторого времени, несмотря на непрерывистое перемещение самой вершины в пространстве решений. Для эффективного определения текущей вершины используется правило LIFO (Last In, First Out). В момент нарушения ограничений, обусловленный динамикой системы, осуществляется переход к новой вершине с последующим повторением вычислительной процедуры. Данный подход обеспечивает адаптивность алгоритма к изменяющимся условиям задачи.

В работе [5] показано, что в момент времени t=0 решение задано и будет лежать в одной из вершин многогранника, причем оптимальные значения управления будут постоянными на некотором промежутке времени.

Рассмотрим следующую задачу математического программирования:

где , , , M – некоторые заданные числа, а  – функция, численно характеризующая количество ресурсов.

Решением данной задачи будут являться числа:

причем будут оставаться постоянными, пока выполняются ограничения:

Таким образом, на некотором отрезке [0,) решение задачи задается функциями:

[5], где -первый момент времени, когда нарушаются ограничения (4)-(5).

Алгоритм работает до момента окончания прогнозирования T. Его ключевой особенностью является решение задачи линейного программирования на каждом шаге, причем вершины многогранника находятся очень просто. Для этого используется алгоритм из [6]. Научная новизна метода заключается в его динамической адаптивности, позволяющей оперативно пересматривать стратегию в ответ на изменения внешних условий. Применение принципа продолжения траекторий сводит задачу прогнозирования к последовательности задач ЛП, упрощая вычисления и обеспечивая устойчивость. Использование правила LIFO ускоряет поиск вершин многогранника, снижая вычислительные затраты, а модульная реализация облегчает масштабирование метода для различных прикладных задач.

Модульная блок схема программы оптимизации распределения ресурсов представлена на рис.1

Рисунок 1. Модульная блок-схема программы оптимизации распределения ресурсов

Разработанная программная система реализует модульный принцип построения, что отражено на блок-схеме (Рис. 1). Каждый функциональный модуль выполняет специализированную задачу в рамках общего процесса оптимизации:

Основной модуль осуществляет инициализацию системы, включая прием входных параметров (ограничения, целевые функции, характеристики ресурсов) и формирование первоначального распределения ресурсов.

Модуль 3 отвечает за построение пространства решений, генерируя множество вершин, соответствующих возможным состояниям системы. Критически важной функцией данного модуля является выбор начальной вершины, определяющей сходимость всего алгоритма.

Модуль 4 выполняет мониторинг оптимальности текущего решения и осуществляет переход между вершинами. Ключевым механизмом здесь выступает применение правила LIFO для выбора следующей вершины.

Модуль 2 реализует процедуру адаптации, корректируя распределение ресурсов с учетом временных факторов и изменяющихся условий задачи. Модуль производит динамическое перераспределение ресурсов на основе актуальных данных.

Модуль 5 является вычислительным ядром системы, осуществляющим необходимые расчеты и формирующим итоговые результаты, включая оптимальные значения распределения ресурсов и соответствующие показатели целевой функции.

Представленная архитектура обеспечивает четкое разделение функциональности и позволяет эффективно масштабировать систему для решения различных классов оптимизационных задач.

Заключение

Разработанный алгоритм динамического прогнозирования на основе принципа продолжения траекторий и правила LIFO апробирован на тестовых задачах. Результаты подтверждают его эффективность для адаптивного управления ресурсами предприятия в условиях изменяющихся параметров. Метод позволяет оперативно перестраивать стратегию распределения, обеспечивая оптимальные решения на всем горизонте планирования.

Список литературы:

1. Алесова И.М. Оптимальное управление динамическими системами, описываемыми моделью лотки-вольтерры // Современная наука: актуальные проблемы теории и практики. Серия: Естественные и технические науки. 2020. № 1. С. 57-61.
2. Толпекина М.Е. Применение задач линейного программирования при разработке модели распределения ресурсов // Пожарная и техносферная безопасность: проблемы и пути совершенствования. 2020. № 3 (7). С. 478-481.
3. Zhang, Huiling & Liu, Yuxuan. Linear programming analysis of the optimal allocation problem of human resources in engineering projects // Applied Mathematics and Nonlinear Sciences. 2024. № 9. 10.2478/amns-2024-3061.
4. Коковкин Д. А. Об оптимальном управлении запасами торгового предприятия//Инженерные Технологии. – 2023. – С. 45-83.
5. Афанасьев А. П. Продолжение траекторий в оптимальном управлении //Труды Института системного анализа Российской академии наук. – 2005. – Т. 17. – С. 6-204
6. Боровик В. В., Коковкин Д.А., Смирнова П. М. Алгоритм прогнозирования оптимального управления запасами на предприятии // Вестник Тверского государственного технического университета. Серия «Технические науки». № 3 (23) – 2024.