ОПРЕДЕЛЕНИЕ  МОЩНОСТИ  ГАРМОНИЧЕСКОГО  ТОКА  В  КОМПЛЕКСНОЙ  ФОРМЕ

Копылов  Алексей  Филиппович

канд.  техн.  наук,  доцент  кафедры  Радиотехника  Института  инженерной  физики  и  радиоэлектроники  Сибирского  федерального  университета,  РФ,  г.  Красноярск

E-mail:  kopaph@yandex.ru

Копылова  Наталья  Алексеевна

инженер-программист  Межшкольного  методического  Центра  Октябрьского  района,  РФ,  г.  Красноярск

E-mail: 

POWER  DEFINITION  HARMONIC  CURRENT  IN  THE  COMPLEX  FORM

Alexei  Kopylov

candidate  of  Technical  Sciences,  Associate  Professor  of  Radio  Technical  Department  of  Physicists  and  Radio  Technicians  Engineering  of  Siberian  Federal  University,  Russia  Krasnoyarsk

Natalia  Kopylova

part-programming  engineer  Methodological  centre  of  October  district,  Russia  Krasnoyarsk

АННОТАЦИЯ

В  работе  приведен  подробный  вывод  выражений  для  определения  мощности  гармонического  тока  в  случае,  когда  ток  и  напряжение  цепи  выражены  в  форме  комплексных  амплитуд.  Показано,  какие  сочетания  комплексных  амплитуд  токов  и  напряжений,  а  также  комплексно  сопряженных  с  ними  величин,  соответствуют  активной  и  реактивной  мощностям  гармонического  тока.  Вывод  может  быть  полезен  при  подробном  изучении  дисциплин  по  электро-  и  радиотехнике.

ABSTRACT

The  paper  provides  a  detailed  derivation  of  the  expressions  for  determining  the  power  of  the  harmonic  current  in  the  case  where  the  current  and  the  voltage  are  expressed  in  the  form  of  complex  amplitudes.  Shows  which  combinations  of  the  complex  amplitudes  of  the  currents  and  voltages,  as  well  as  complex  conjugate  with  them  values  correspond  to  active  and  reactive  power  harmonic  current.  The  derivation  of  mathematical  expressions  can  be  useful  for  a  detailed  study  of  disciplines  on  electrical  engineering.

Ключевые  слова:  ток;  напряжение;  мощность  в  комплексной  форме.

Keywords:  current;  voltage;  power  in  complex  form.

Как  показывает  опыт  обучения  студентов  по  дисциплинам,  связанным  с  электро-  и  радиотехникой,  определенные  проблемы  в  учебном  процессе  возникают  при  изучении  темы  расчета  мощности  гармонического  тока  в  комплексной  форме.  Даже  у  квалифицированного  читателя  при  изучении  этого  материала  возникает  вопрос  о  строгости  в  получении  выражений,  описывающих  мощность  гармонического  тока  в  комплексной  форме.  При  ближайшем  рассмотрении  оказывается,  что  этот  вопрос  возникает  не  случайно.  В  самом  деле,  при  подробном  рассмотрении  оказывается,  что  получение  строгого  решения  для  комплексной  мощности  обходят  стороной  как  авторы  современных  учебников  и  учебных  пособий  [1—3],  так  и  основоположники  теории  электрических  цепей  и  электротехники  [4].  Во  всех  этих  источниках  [1—4],  в  тех  или  иных  модификациях  приводится  результирующая  формула  для  определения  мощности  гармонического  тока  в  комплексной  форме    через  комплексные  амплитуды  тока  в  цепи    и  напряжения  на  ней    и  комплексно  сопряженные  с  ними  величины    и  :

,              (1)

где:    —  комплексная  мощность  в  цепи  гармонического  тока,  ВА;

  —  активная  мощность  в  цепи  гармонического  тока,  Вт;

  —  реактивная  мощность  в  цепи  гармонического  тока,  вар;

j  —  мнимая  единица, 

  и    —  комплексная  амплитуда  и  сопряженная  с  ней  величина  тока  в  цепи  (ветви  схемы),  для  которой  определяется  мощность,  А;

  и    —  комплексная  амплитуда  и  сопряженная  с  ней  величина  падения  напряжения  на  цепи  (ветви  схемы),  для  которой  определяется  мощность,  В;

  —  величина,  комплексно  сопряженная  с  действующим  значением  комплексной  амплитуды  тока  цепи  (ветви  схемы),  для  которой  определяется  мощность,  А;

  —  действующее  значение  комплексной  амплитуды  падения  напряжения  на  цепи  (ветви  схемы),  для  которой  определяется  мощность,  В.

Осуществим  подробный  вывод  выражения  (1).  Для  этого  положим  мгновенное  значение  тока    в  цепи  в  виде  гармонической  функции  с  нулевой  начальной  фазой:

,                                                                                   (2)

где:    —  мгновенное  значение  тока  в  цепи,  А;

  —  амплитудное  значение  тока  в  цепи,  А;

  —  круговая  частота,  рад/с;

  —  текущее  значение  времени,  с.

Поскольку  ток  и  напряжение  в  цепи  гармонического  тока  в  общем  случае  не  совпадают  по  фазе,  мгновенное  значение  напряжения    на  цепи  положим  также  в  виде  гармонической  функции,  но  с  ненулевой  начальной  фазой  :

,  (3)

где:    —  мгновенное  значение  напряжения  на  цепи,  В;

  —  амплитудное  значение  напряжения  на  цепи,  В;

  —  начальная  фаза  напряжения  на  цепи,  рад.

Мгновенное  значение  мощности  гармонического  тока    при  этом  будет  равно  произведению  мгновенного  значения  тока    в  цепи,  выражение  (2),  на  мгновенное  значение  напряжения    на  цепи,  выражение  (3):

.  (4)

Или  в  виде,  содержащем  сумму  мгновенной  поглощаемой  мощности    и  мгновенной  поступающей  на  реактивные  элементы  мощности  :

,         (5)

где:    —  мгновенная  поглощаемая  в  цепи  мощность,  Вт;

  —  мгновенная  поступающая  на  реактивные  элементы  цепи  мощность,  вар;

  —  значение  активной  мощности  в  цепи,  Вт;

  —  значение  реактивной  мощности  в  цепи,  вар.

Полного  эквивалента  выражению  (5)  в  комплексной  форме  подобрать  не  удается  из-за  неполного  соответствия  комплексных  изображений  исходным  гармоническим  функциям.  Такое  несоответствие  возникает,  когда  появляется  необходимость  физической  интерпретации  комплексных  операторов  вращения  вида    и  ,  появляющихся  при  преобразованиях  синусоидальных  функций  времени  тока,  напряжения  и  мощности.  В  частности,  при  изображении  гармонических  множителей  в  выражении  (5),  оператор  вращения    может  изображать  как  синусоидальный  множитель  ,  так  и  косинусоидальный  множитель  .  Это  приводит  к  неоднозначности  изображения  исходных  гармонических  функций  в  области  комплексной  переменной.  По  этой  причине  при  преобразовании  функций  времени  (5)  в  комплексную  форму  приходится  опускать  гармонические  множители  и  преобразовывать  только  активную    и  реактивную    мощности.

Преобразование  активной  составляющей    комплексной  мощности    цепи  гармонического  тока  дает  четыре  возможных  варианта  выражений  для  активной  мощности  через  комплексные  и  сопряженные  с  ними  токи  и  напряжения:

;  ;

;  .  (6)

В  результате  подстановки  в  каждое  из  выражений  (6)  величин  ,  ,    и  ,  выраженных  через  их  реальные  и  мнимые  составляющие,  получается:

,        (7)

,        (8)

,           (9)

,          (10)

где:  ,    —  действительная  и  мнимая  части  комплексной  амплитуды  тока  цепи  (ветви);

,    —  действительная  и  мнимая  части  комплексной  амплитуды  напряжения  на  цепи  (на  ветви),  для  которой  определяется  мощность.

Первое  (7)  и  второе  (8)  уравнения  этой  системы  не  могут  быть  выражениями  для  нахождения  активной  мощности    в  цепи  гармонического  тока,  так  как  в  составе  этих  выражений  есть  мнимая  составляющая.  Третье  (9)  уравнение  системы  допускает  получение  отрицательной  мощности,  не  обусловленной  несовпадением  направлений  тока  и  напряжения  в  цепи  (ветви):  .  Всем  физическим  соображениям  для  выражения  активной  мощности    соответствует  только  четвертое  (10)  уравнение:  это  уравнение  не  содержит  мнимых  составляющих,  и  не  содержит  элементов,  допускающих  появления  отрицательной  мощности,  не  обусловленной  несовпадением  направлений  тока  и  напряжения  в  цепи  (ветви).

Аналогичное  выполненному  выше  (6),  преобразование  можно  осуществить  для  реактивной  составляющей    комплексной  мощности  .  Преобразование  реактивной  составляющей    комплексной  мощности    цепи  гармонического  тока  также  дает  четыре  возможных  варианта  выражений  для  реактивной  мощности  через  комплексные  и  сопряженные  с  ними  токи  и  напряжения:

;;

;.  (11)

В  результате  подстановки  в  каждое  из  выражений  (11)  величин  ,  ,    и  ,  выраженных  через  их  реальные  и  мнимые  составляющие,  получим:

,  (12)

,     (13)

,     (14)

.   (15)

Проанализируем  уравнения  (12)—(15),  полученные  для  реактивной  мощности    в  комплексной  форме,  с  точки  зрения  физического  смысла.  Уравнения  (12)  и  (13)  не  могут  выражать  реактивную  мощность,  так  как  они  содержат,  наряду  с  реактивными,  и  активные  составляющие,  а  это  физически  невозможно.  Выражение  (14),  хотя  и  не  содержит  действительных  составляющих,  как  это  было  ранее  в  выражениях  (12)  и  (13),  и,  на  первый  взгляд,  может  выражать  реактивную  мощность  ,  также  не  подходит  на  эту  роль.  Уравнение  (14)  не  позволяет  реактивной  мощности  принимать  отрицательные  значения,  а  это  неизбежно  случится  при  изменении  реактивного  характера  сопротивления  цепи  с  активно-индуктивного  на  ёмкостно-индуктивный.  Всем  критериям  выражения,  которое  может  определять  реактивную  мощность  ,  соответствует  последнее  уравнение  (15):  оно  содержит  только  реактивные  составляющие  и  может  иметь  различные  знаки  в  зависимости  от  характера  реактивности  сопротивления  цепи.

Таким  образом,  в  результате  подбора  выражения  для  изображения  активной  мощности    из  возможных  вариантов  (7)—(10),  удовлетворяющим  физическому  смыслу  этой  мощности  оказывается  изображение  (10),  а  для  изображения  реактивной  мощности    из  возможных  вариантов  (12)—(15)  удовлетворяющим  физическому  смыслу  этой  мощности  оказывается  выражение  (15).  Комплексная  мощность    цепи  гармонического  тока  при  этом  будет  определяться  выражением:

.         (16)

Полученные  в  настоящей  работе  выражения  для  комплексной  мощности    цепи  гармонического  тока  (16),  её  активной    (10)  и  реактивной    (15)  составляющих,  полностью  совпадают  с  имеющимися  в  литературе  [1—4]  результатами  (1).  Весь  показанный  в  настоящей  работе  процесс  вывода  соотношения  (1)  показывает,  что  это  соотношение  не  имеет  физического  смысла,  а  является  чисто  формальным  и  позволяет  использовать  его  только  для  практических  расчетов  и  не  может  быть  использовано  для  каких-либо  физических  интерпретаций  с  понятиями  мощности,  используемыми  в  электро-  и  радиотехнике.

Список  литературы:

1.Основы  теории  цепей  [Текст]:  учебник  /  Г.И.  Атабеков.  2-е  изд.,  испр.  СПб.:  Лань,  2006.  —  424  с.  —  ISBN  5-8114-0699-1  (в  пер).

2.Основы  теории  цепей  [Текст]:  учебник  для  электротехн.  и  электроэнерг.  спец.  вузов  /  Г.В.  Зевеке,  П.А.  Ионкин,  А.В.  Нетушил,  С.В.  Страхов.  5-е  изд.,  перераб.  М.:  Энергоатомиздат,  1989.  —  528  с.:  ил.  —  ISBN  5-283-00523-2  (в  пер).

3.Основы  теории  цепей  [Текст]:  Учебник  для  студентов  вузов  /  В.П.  Попов.  6-е  изд.,  испр.  М.:  Высшая  школа,  2007.  —  575  с.:  ил.  —  ISBN  978-5-06-003949-8  (в  пер).

4.Основы  электротехники  /  К.А.  Круг.  4-е  изд.,  перераб.  Утв.  Комитетом  по  высшему  техническому  образованию  при  ЦИК  СССР  в  качестве  основного  учебного  руководства  для  энергетических  втузов.  Объединенное  научно-техническое  изд-во  глав.  ред.  энергетической  литературы,  1936.  —  888  с.:  ил.