О  ПРЕДЕЛЬНОМ  СОСТОЯНИИ  КУСОЧНО-НЕОДНОРОДНЫХ  ПРИЗМАТИЧЕСКИХ  СТЕРЖНЕЙ  В  СЛУЧАЕ  ТРАНСЛЯЦИОННОЙ  АНИЗОТРОПИИ

Деревянных  Евгения  Анатольевна

аспирант  кафедры  математического  анализа  Чувашского  государственного  педагогического  университета  им.  И.Я.  Яковлева,  г.  Чебоксары

E-mail: 

ABOUT  THE  LIMIT  CONDITION  OF  PIECEWISE  AND  NON-UNIFORM  PRISMATIC  CORES  IN  CASE  OF  TRANSMITTING  ANISOTROPY

Derevyannikh  Evgeniya

Postgraduate  student,  Department  of  Mathematical  Analysis,  I.  Yakovlev  Chuvash

State  Pedagogical  University,  Cheboksary

АННОТАЦИЯ

Использование  новых  методов  пластической  деформации  является  одним  из  наиболее  перспективных  направлений  в  создании  мелкокристаллических  материалов  с  уникальными  свойствами.  В  качестве  способа  деформации  часто  выбирают  кручение.  В  работе  рассматривается  предельное  состояние  кусочно-неоднородных  призматических  стержней.  Предполагается,  что  составляющие  стержня  являются  идеальнопластическими,  обладающими  независимыми  предельными  условиями,  при  наличии  трансляционной  анизотропии. 

ABSTRACT

Use  of  new  methods  of  plastic  deformation  is  one  of  the  most  perspective  directions  in  creation  of  fine-crystalline  materials  with  unique  properties.  As  a  way  of  deformation  often  choose  torsion.  In  work  the  limit  condition  of  piecewise  and  non-uniform  prismatic  cores  is  considered.  It  is  supposed  that  components  of  a  core  are  perfectly  plastic,  possessing  independent  limit  conditions,  with  transmitting  anisotropy.

Ключевые  слова:  кручение;  напряжение;  предел  текучести;  предельное  состояние;  треугольные  стержни.

Keywords:  torsion;  tension;  fluidity  limit;  limiting  condition;  prismatic  cores.

В  работе  рассматривается  предельное  состояние  кусочно-неоднородных  призматических  стержней  [3].  Предполагается,  что  составляющие  стержня  являются  идеальнопластическими,  обладающими  независимыми  предельными  условиями,  при  наличии  трансляционной  анизотропии.

Рассмотрим  цилиндрический  или  призматический  стержень  [1],  ориентированный  в  прямоугольной  декартовой  системе  координат  x,  y,  z.  Ось  z  направим  параллельно  образующей  стержня.  Предположим,  что  стержень  закручивается  вокруг  оси  z.

Рассмотрим  кручение  стержня,  поперечное  сечение  которого  есть  треугольник,  разделенный  на  две  области  линией  неоднородности    (рис.  1  а).  Каждая  область  обладает  своей  анизотропией.  Касательные  напряжения  направлены  вдоль  сторон  треугольника.

Рисунок  1.  Кусочно-неоднородных  призматических  стержней

В  первой  области  (рис.  1  б)  условие  пластичности  имеет  вид  [2]:

 ,  (1)

 во  второй  области  условие  пластичности  запишется  в  виде:

 .  (2)

 Положим

 ,  (3)

,  (4)

.  (5)

Из  (1),  (3),  (4)  найдем

   ,  (6)

где: 

   (7)

Дифференциальное  уравнение  равновесия  при  кручении  имеет  вид:

 .  (8)

Подставляя  выражения  (3),  (4)  в  уравнение  равновесия  (8),  получим:

 ,  (9)

где: 

 .  (10)

Соответствующие  уравнения  для  определения  характеристик  имеют  вид:

 .  (11)

Из  уравнения  (11)  следует,  что  характеристики  суть  прямые

 ,  .  (12)

На  рис.  2  представлен  случай  кручения  треугольных  стержней  разделенных  на  две  области.

Построим  линии  разрыва  напряжений  в  каждой  области.

Рисунок  2.  Линии  разрыва  напряжений

Линия  неоднородности    сама  является  линией  разрыва  напряжений.

Линия  разрыва    первой  области  образована  векторами  касательных  напряжений  ,    и  пересекает  линию  неоднородности    в  точке  .

Линия  разрыва    второй  области  образована  векторами  касательных  напряжений    и  .  При  переходе  через  линию  неоднородности    вектор  касательного  напряжения    первой  области  переходит  в  вектор    второй  области.  Линия  разрыва  напряжений    второй  области  образована  векторами  касательных  напряжений    и  .  Линии  разрыва    и    пересекаются  в  точке  .  Линия  разрыва    исходит  из  точки    и  образована  векторами  касательных  напряжений    и  .  При  переходе  через  линию  неоднородности    вектор  касательного  напряжения    первой  области  переходит  в  вектор    второй  области.  Линия  разрыва    исходит  из  точки    и  образована  векторами  касательных  напряжений    и  .  Линия  разрыва    исходит  из  точки    и  образована  векторами  касательных  напряжений    и  .

Линии  разрыва  ,  ,    пересекаются  в  одной  точке  .

Таким  образом,  дано  построение  напряженного  состояния  треугольных  стержней,  разделенных  на  две  области  при  трансляционной  анизотропии.

Список  литературы:

1.Ивлев  Д.Д.  Теория  идеальной  пластичности  /  Д.Д.  Ивлев.  —  М.:  Наука,  1966.  —  231  с.

2.Ивлев  Д.Д.  О  соотношениях  трансляционной  идеально-пластической  анизотропии  при  кручении  /  Д.Д.  Ивлев,  Б.Г.  Миронов  //  Вестник  Чувашского  государственного  педагогического  университета  им.  И.Я.  Яковлева.  Серия:  Механика  предельного  состояния.  —  2010.  —  №  2  (8).  —  Ч.  3.  —  С.  576—579.

3.Митрофанова  Т.В.  О  предельном  состоянии  анизотропных  призматических  стержней  при  кручении  /  Т.В.  Митрофанова  //  Вестник  Чувашского  государственного  педагогического  университета  им.  И.Я.  Яковлева.  Серия:  Механика  предельного  состояния.  —  2010.  —  №  2  (8).  —  Ч.  3.  —  С.  601—609.