ПЕРВОЕ АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ РЕШЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННО-СИММЕТРИЧНОЙ ЗАДАЧИ О ПОЛЕ ДАВЛЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

FIRST ASYMPTOTIC APPROXIMATIONS FOR SOLUTION OF DIMENSIONALLY-SYMMETRIC PROBLEM OF PRESSURE FIELD WITH VARIABLE COEFFICIENTS

Alexander Filippov

doctor of Technical Sciences, Professor, Sterlitamak branch of Bashkir State University, Head of the Department of General and Theoretical Physics,

Russia, Sterlitamak

Oksana Ahmetova

candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor,

Sterlitamak branch of Bashkir State University, Researcher,

Russia, Sterlitamak

Alexei Kowalski

candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor,

Sterlitamak branch of Bashkir State University, Director,

Russia, Sterlitamak

Marat Gubaidullin

graduate student, Sterlitamak branch of Bashkir State University,

Russia, Sterlitamak

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ в рамках проекта № 16-08-00548 А.

АННОТАЦИЯ

Найдено решение в первом асимптотическом приближении задачи о поле давления в слоисто-неоднородной ортотропной пористой среде при отборе флюида в режиме постоянной депрессии. Полученное решение позволяет производить детальные расчеты поля давления в многослойной пластовой системе, для произвольной зависимости проницаемости центрального пропластка от вертикальной координаты.

ABSTRACT

We found the solution in the first asymptotic approximation to the problem of the pressure field in layered orthotropic porous medium in the selection of the fluid in the mode of constant depression. The resulting solution enables detailed calculations of the pressure field in a multilayer reservoir system for an arbitrary dependence of the permeability of the central seams from the vertical position.

Ключевые слова: асимптотический метод, поле давления, неоднородый пласт, переменные коэффициенты.

Keywords: asymptotic method, pressure field, reservoir heterogeneity, variable coefficients.

В работе [1] найдено нулевое асимптотическое приближение решения задачи о поле давления в слоисто-неоднородном анизотропном пласте, где проницаемость среднего пропластка является четной функцией от вертикальной координаты [4–6], а гидродинамические свойства окружающих пород совпадают.

Как показано в работах [2; 7–9], нулевое асимптотическое приближение представляет некоторым образом осредненное по толщине центрального пропластка решение, которое отражает основные закономерности эволюции давления, и в частных случаях [2; 7–11] достаточно для инженерных расчетов. Найденное в данной статье решение указанной задачи в первом асимптотическом приближении уточняет аналитические зависимости в области осреднения и позволяет осуществлять детальные расчеты давления по всей пластовой системе.

Безразмерная параметризованная задача в силу симметрии представлена в области z > 0 и имеет вид

, , ,                                                     (1)

, , ,                      (2)

, ,                       (3)

, , .                                      (4)

Искомое решение задачи ищется в виде асимптотической формулы по ε

,                             (5)

где: нижние индексы у безразмерного давления P относятся к номеру области и принимают значение либо «пробел», либо единица, а верхние − порядковому номеру приближения.

Подставив (5) в (1) – (4) и выписывая слагаемые при одинаковых степенях e, получим постановки задач для соответствующих коэффициентов разложения [1; 2; 7–10].

Решение для нулевого коэффициента разложения в пространстве изображений Лапласа-Карсона запишется в виде [1].

, ,                                          (6)

, .                       (7)

Постановка задачи для первого коэффициента разложения включает уравнения

, , ,                                                        (8)

, , ,                (9)

, ,                   (10)

, , .                 (11)

Уравнение (9) является «зацепленным», в том смысле, что содержит первый и второй коэффициенты разложения. Далее осуществляется процедура «расцепления» [1; 2; 7–10].

После «расцепления» уравнение (9) примет вид

,,(12)

где: .

Математическая постановка задачи для первых коэффициентов разложения наряду с (1.9.40) включает также уравнение для окружающей среды

,                                                  (13)

граничные и начальное условия

                                     (14)

В процессе решения возникает необходимость видоизменения граничного условия при х = 0 в (14), поскольку при наличии его задача имеет только тривиальное решение. Видоизмененное условие получено ниже на основе требования нулевого решения осредненной задачи для остаточного члена при любых значениях ε. Такая замена граничного условия возможна благодаря наличию «вязкого погранслоя» (математический термин теории асимптотических методов) при х = 0. С одной стороны она обеспечивает построение асимптотического решения, с другой - нулевые осредненные значения остаточного члена представляют критерий близости искомого точного решения и асимптотического.

При построении задачи для остаточного члена обозначим сумму слагаемых после первого коэффициента разложения как остаточный член Q. Тогда решение задачи (1) – (4) строится в виде асимптотической формулы по параметру  с остаточным членом  [4; 8; 9].

Воспользовавшись выражениями для нулевого и первого коэффициентов, получим задачу для остаточного члена

,                                                                     (15)

,                                  (16)

, , ,      (17)

, ,                                                 (18)

в качестве источников возмущений в которой выступает первый коэффициент асимптотического разложения в пласте  и окружающей среде.

Заметим, что задача для остаточного члена по сложности сопоставима с исходной, в ее постановке также присутствуют переменные коэффициенты, обусловленные зависимостью проницаемости пласта от вертикальной координаты.

Для устранения трудностей, связанных с переменными коэффициентами, представим остаточный член в каждой области в виде асимптотического ряда

, .(19)

На основе подстановки (19) в (15) – (18) нетрудно убедиться, что задача для нулевого коэффициента разложения имеет тривиальное решение , . Поскольку , тогда из условия  следует, что первый коэффициент разложения остаточного члена не зависит от вертикальной координаты .

Математическая постановка задачи для первого коэффициента разложения остаточного члена содержит следующие уравнение и условия:

,

,

, ,

.

Нелокальные среднеинтегральные условия находятся из требования тривиального решения осредненной интегрально задачи для

,                                                                  (20)

,                                                  (21)

, ,                                           (22)

.                                                           (23)

Тривиальное решение задачи для первого коэффициента остаточного члена (20) – (23) возможно при равенстве нулю правой части (23). Таким образом, условие

                                                                           (24)

может быть использовано при решении задачи для первого коэффициента разложения искомого решения , при этом задача для первого коэффициента разложения имеет единственное решение.

С учетом вышеизложенного математическая постановка задачи для первого коэффициента разложения примет вид

,                                                          (25)

, , (26)

                                          (27)

Решение (25) – (27) в пространстве изображений Лапласа-Карсона имеет вид

.                              (28)

Решение в настилающем слое запишется как

.                               (29)

Таким образом, получено решение, которое уточняет нулевой коэффициент разложения и позволяет учитывать распределение проницаемости по толщине пласта.

Решение в первом асимптотическом приближении получается подстановкой в формулы  выражений для нулевого (6), (7) и первого (28), (29) коэффициентов асимптотического разложения.

Оригиналы [3] асимптотического решения пространственно-симметричной задачи о поле давления с переменными коэффициентами в первом приближении имеют вид

.           (30)

.(31)

Таким образом, на примере задачи о квазистационарном поле давления неоднородного анизотропного пласта в среде с вертикальными трещинами, где переменными коэффициентами выступают зависимости компонент проницаемости центрального пласта от вертикальной координаты, проиллюстрированы возможности получения асимптотических решений в первом приближении. Полученные решения, содержат зависимости от вертикальной координаты в каждом слое и являются уточнением нулевого приближения [1].

Список обозначений:

k– проницаемость, м²; t – безразмерное время; Р – безразмерное давление; z, x – безразмерные координаты; e – параметр асимптотического разложения;

Индексы нижние: 0 – начальные значения параметров, 1, 2 – номера сред, z, x – направление. Индексы верхние (в скобках) – порядковый номер коэффициента асимптотического разложения. Обозначения математических символов - общепринятые.

Список литературы:

1. Ахметова О.В., Губайдуллин М. Р., Сираев Р.В. Фаттахова Е.Н. Нулевое асимптотическое приближение в задаче о поле давления с переменными коэффициентами // Естественные и математические науки в современном мире: сб. ст. по матер. XLIII междунар. науч.-практ. конф. № 6 (41). – Новосибирск: СибАК, 2016. – С. 91–99.

2. Ахметова О.В., Филиппов А.И., Филиппов И.М. Квазистационарные поля давления при линейной фильтрации в неоднородном анизотропном пласте в асимптотическом приближении // Механика жидкости и газа. – 2012. – № 3. – С. 89–100.

3. Диткин В.А., Прудников А.П. Справочник по операционному исчислению. – М.: Высшая школа, 1965. – 466 с.

4. Дмитриев Н.М., Кадет В.В., Михайлов Н.Н., Семенов А.А. Эффект асимметрии при фильтрации в анизотропных пористых средах // Технологии нефти и газа. – № 1 (48). – 2007. – С. 52–55.

5. Дмитриев Н.М., Нуриев А.М. Представление тензора коэффициентов проницаемости для анизотропных трещиноватых коллекторов // Труды Российского государственного университета нефти и газа им. И.М. Губкина. – № 3. – 2015. – С. 31–38.

6. Константинова С.А., Топоркова С.В., Карабатов В.А. Влияние неоднородности нефтеносного пласта по проницаемости на динамику пластового давления // Горный информационно-аналитический бюллетень (научно-технический журнал). 2006. № 11. С. 37–43.

7. Филиппов А.И., Ахметова О.В., Губайдуллин М.Р. Асимптотически осредненное решение задачи о поле давления в слоисто-неоднородной пористой среде // Нефтегазовое дело: электрон. науч. журн.– № 3. – 2015. –С. 693–712. URL: http://ogbus.ru/issues/3_2015/ ogbus_3_2015_p693-712_FilippovAI_ru.pdf. (Дата обращения 15.05.2016 г.).

8. Филиппов А.И., Ахметова О.В., Губайдуллин М.Р. Поле давления при радиальной фильтрации в неоднородном ортотропном пласте в асимптотическом приближении // Инженерно-физический журнал. – 2015. – Т. 88. – № 6. – C. 1285–1297.

9. Филиппов А.И., Ахметова О.В., Ковальский А.А., Губайдуллин М.Р. Первое асимптотическое приближение задачи о поле давления в неоднородной ортотропной пористой среде // Известия Уфимского научного центра РАН. 2016. № 1. С. 5–12.

10. Филиппов А.И., Ахметова О.В., Филиппов И.М. Фильтрационное поле давления в неоднородном пласте при постоянном отборе // Инженерно-физический журнал. 2012. № 1. С. 3–17.

11. Филиппов А.И., Губайдуллин М.Р. Первое приближение задачи о поле давления в неоднородной ортотропной пористой среде // Естественные и математические науки в современном мире. 2015. № 28. С. 29–35.