УПРАВЛЕНИЕ  КОЛЕБАНИЯМИ  ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ  ОБОЛОЧКИ

Крылова  Екатерина  Юрьевна

канд.  физ.-мат.  наук  ассистент  Саратовского  государственного  университета  им.  Н.Г.  Чернышевского,  РФ,  г.  Саратов

E -mail:  kat.krylova@bk.ru

Папкова  Ирина  Владиславовна

канд.  техн.  наук  доцент  Саратовского  государственного  технического  университета  им.  Гагарина  Ю.А.,  РФ,  г.  Саратов

E -mail:  ikravzova@mail.ru

Салтыкова  Ольга  Александровна

канд.  физ.-мат.  наук  доцент  Саратовского  государственного  технического  университета  им.  Гагарина  Ю.А.,  РФ,  г.  Саратов

E -mail:  olga_a_saltykova@mail.ru

CONTROL  OF  CYLINDRICAL  SHELLS  VIBRATIONS

Krylova  Ekaterina

candidate  of  Science,  Saratov  state  university,  Russia,  Saratov

Papkova  Irina

candidate  of  Science,  assistant  professor  of  Saratov  state  technical  university,  Russia,  Saratov

Saltykova  Olga

candidate  of  Science,  Ph.D.,  assistant  professor  of  Saratov  state  technical   university,  Russia,  Saratov

Работа  проведена  при  финансовой  поддержке  РФФИ  МОЛ-А-2014  №  14-01-31335

АННОТАЦИЯ

Управлять  колебаниями  оболочки  предлагается  на  основании  карт  типа  колебаний,  построенных  с  учетом  различных  вариантов  приложения  нагрузки.

ABSTRACT

Control  of  cylindrical  shells  vibrations  is  proposed  based  on  type  vibrations  cards.  Cards  constructed  taking  into  account  the  various  options  the  load  application.

Ключевые  слова:  оболочка;  хаос;  бифуркации;  Ляпуновские  показатели;  управление  колебаниями.

Keywords:  shell;  chaos;  bifurcation;  Lyapunov  exponents;  control  of  vibrations.

В  работе  исследуются  колебания  гибких  изотропных  цилиндрических  прямоугольных  в  плане  оболочек,  под  действием  внешней  знакопеременной  сдвиговой  нагрузки.  Рассматриваемые  оболочки  являются  элементами  многих  инженерных  конструкций,  находящихся  под  действием  внешнего  динамического  давления.  Поэтому  возникает  необходимость  комплексного  исследования  поведения  таких  систем  и  установления  множества  параметров  воздействия,  характеризующих  безопасный  и  опасный  режимы  их  работы. 

Математическая  модель  колебаний  оболочки,  построенная  на  основе  модели  Кирхгофа  с  учетом  нелинейной  зависимости  между  деформациями  и  перемещениями  в  форме  Кармана,  представляет  собой  систему  неоднородных  дифференциальных  уравнений  в  частных  производных  относительно  функций  прогиба  и  усилий.  Для  сведения  распределенной  системы  к  системе  с  сосредоточенными  параметрами  по  пространственным  переменным  применяется  метод  конечных  разностей  с  аппроксимацией  ,  что  позволяет  рассматривать  оболочку  как  механическую  систему  с  бесконечным  числом  степеней  свободы.  Система  обыкновенных  дифференциальных  уравнений  по  времени  решается  методом  Рунге-Кутта  четвертого  порядка  точности.  В  прямоугольной  системе  координат  трехмерная  область  запишется  в  виде:  ,  .  Исходными  являются  уравнения  теории  пологих  оболочек,  записанные  в  безразмерном  виде  [1]:

где:  ,    и  —  известные  нелинейные  операторы, 

  и    —  функция  прогиба  и  усилия.  К  уравнениям  (1.1)  присоединим  граничные  условия  шарнирного  опирания  на  жесткие  (несжимаемые)  ребра:

  при  ;    при    (1.2)

и  нулевые  начальные  условия:

                                     (1.3)

Дифференциальная  задача  (1.1—1.3)  приведена  к  безразмерному  виду  c  использованием  теории  размерностей  и  подобия  стандартным  образом.  Нагрузка  задавалась  в  виде  ,  где  ,    —  частота  и  амплитуда  внешнего  воздействия,  соответственно,  ,  коэффициент  диссипации  ,  коэффициент  Пуассона  ,  временной  интервал  ,  количестве  деления  отрезка  в  методе  конечных  разностей    [2],  выбор  шага  по  времени  по  правилу  Рунге.  Влияние  количества  степеней  свободы  на  достоверность  результатов  приведено  в  работах  [3] 

В  работе  построены  карты  типа  колебаний  размером  300х300  для  управляющих  параметров    (Таблица  1)  для  оболочке  различной  геометрии.  Амплитуда  внешнего  воздействия  менялась  на  интервале  ,  интервал  по  частоте  выбирался  таким  образом,  чтобы  для  каждого  случая  в  его  центре  была  частота  собственных  колебаний  оболочки.  Идентификация  типа  колебаний  для  каждого  сигнала    проводилась  с  помощью  анализа  спектра  мощности    и  показателей  Ляпунова.  Таким  образом,  при  построении  одной  карты  необходимо  решать  9*104  задач.

Анализ  карты  типа  колебаний  оболочки  при    (Таблица  1  а.),  показал,  что  при  малых  значениях  амплитуды  сдвиговой  нагрузки  ()  колебания  системы  носят  затухающий  характер.  С  увеличением    характер  колебаний  становится  гармоническим,  что  соответствует  безопасному  режиму  воздействия.  Но  при    зоне  гармонических  колебаний  предшествует  довольно  широкая  полоса  бифуркаций  Хопфа.  Далее,  с  ростом  ,  система  переходит  в  неустойчивое  состояние,  появляются  зоны  независимых  частот.  Такие  наборы  параметров  внешнего  воздействия  соответствуют  переходным  зонам,  в  которых  значения  Ляпуновских  показателей  близки  к  нулю.  Дальнейший  рост    приводит  к  обширным  областям  хаотических  колебаний. 

Карта  с  параметрами    (Таблица1b.),  показала,  что  при    колебания  системы  также  носят  затухающий  характер.  Зона  затухающих  колебаний  здесь  немного  шире,  чем  в  случае  .  При  движении  по  ,  также  как  и  в  случае  ,  обнаружены  зоны  гармонических  колебаний,  но  локализация  их  отличается  от  случая  пластины.  Наиболее  обширная  зона  гармонических  колебаний  лежит  в  области  резонанса,  на  линии  частоты  собственных  колебаний,  при  .  Она  охватывает  широкий  диапазон  амплитуд  внешний  сдвиговой  силы  .  Меньшие  окна  гармонических  колебаний  локализованы  в  областях  низких  и  высоких  частот,  но  диапазон  амплитуд  нагрузки  здесь  не  столь  велик,  .  При  больших  амплитудах  нагрузки  система  переходит  в  неустойчивое  состояние,  появляются  обширные  зоны  хаоса,  окаймленные  незначительными  переходными  зонами. 

Анализ  карты  типа  колебаний  оболочки  с  параметрами    (Таблица  1c.)  показывает,  что  при  ,  колебания  носят  затухающий  характер.  Дальнейший  рост    приводит  систему  в  состояние  хаоса.  Переходные  зоны  представлены  очень  узкими  окнами,  растянутыми  вверх  по  оси  амплитуд.  Островки  гармонических  колебаний  встречаются  при    и  в  области  высоких  частот  при  .  Они  незначительны  с  сильными  вкраплениями  бифуркаций  Хопфа  и  суперпозиций  независимых  частот.

Карты  характера  колебаний  свидетельствуют  о  том,  что  при  увеличении  значений  геометрических  параметров  оболочек,  система  переходит  в  нерегулярные  состояния  раньше,  при  меньших  значениях  амплитуды  внешней  сдвиговой  знакопеременной  нагрузки.  Также  чем  больше  изогнута  оболочка,  тем  процесс  перехода  ее  колебаний  в  хаос  резче,  тем  меньше  переходных  зон  (бифуркаций,  суперпозиций  независимых  частот,  колебаний  на  частоте  равной  половине  частоты  возбуждения),  тем  обширнее  хаотические  области  на  карте.

Таблица  1.

Карты  типа  колебаний  оболочки  с  учетом  геометрических  параметров

Список  литературы: 

1.Вольмир  А.С.  Устойчивость  упругих  систем.  М.:  Физматгиз,  1963,  —  880  с.

2.Awrejcewicz  J.,  V.A.  Krysko,  Papkova  I.V.  Routes  to  chaos  in  continuous  mechanical  systems.  Part  1  //  Mathematical  models  and  solution  methods  Chaos,  Solitons  &  Fractals.  Nonlinear  Science,  and  Nonequilibrium  and  Complex  Phenomena,  45  (2012).

3.Awrejcewicz  J.,  E.Y.  Krylova,  I.V.  Papkova,  V.A.  Krysko  Wavelet-based  analysis  of  the  regular  and  chaotic  dynamics  of  rectangular  flexible  plates  subjected  to  shear-harmonic  loading  //  Shock  and  vibration  19  (2012)  —  p.  979—994.