УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ НЕЛИНЕЙНО-НЕОДНОРОДНОЙ ТРУБЫ В СЛУЧАЕ ПРИ ТРАНСЛЯЦИОННОЙ АНИЗОТРОПИИ

УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ  СОСТОЯНИЕ  НЕЛИНЕЙНО-НЕОДНОРОДНОЙ  ТРУБЫ  В  СЛУЧАЕ  ПРИ  ТРАНСЛЯЦИОННОЙ  АНИЗОТРОПИИ

Никитин  Андрей  Витальевич

аспирант  кафедры  математического  анализа  Чувашского  государственного  педагогического  университета  им.  И.  Я.  Яковлева,  РФ,  г.  Чебоксары

E-mail: 

ELASTOPLASTIC  STATES  OF  NONLINEAR  INHOMOGENEOUS  PIPES  IN  CASE  WHEN  TRANSLATIONAL  ANISOTROPY

Andrey  Nikitin

postgraduate  student,  Department  of  Mathematical  Analysis,  I.  Yakovlev  Chuvash  State  Pedagogical  University,  Russia  Cheboksary

АННОТАЦИЯ

В  работе  исследуется  упругопластическое  состояние  нелинейно-неоднородной  трубы  при  трансляционной  анизотропии.  Предполагается,  что  предел  текучести  постоянен  вдоль  эллиптических  кривых.  Труба  находится  под  действием  внутреннего  давления.  Определены  напряжённое  состояние  и  граница  раздела  упругой  и  пластической  областей  в  нулевом  и  первом  приближении.

ABSTRACT

We  study  the  nonlinear  elastic-plastic  state  inhomogeneous  pipe  at  the  translational  anisotropy.  It  is  assumed  that  the  yield  stress  is  constant  along  the  elliptic  krivyh.Truba  is  subjected  to  internal  pressure.  Defined  state  of  stress  and  interface  elastic  and  plastic  regions  in  zero  and  first  approximation.

Ключевые  слова:  труба;  упругость;  пластичность;  анизотропия.

Keywords:  pipe;  firmness;  plasticity;  anisotropy.

Условие  пластичности  для  толстостенной  трубы  радиусов  ,    (рис.  1)  согласно  [1]  имеет  следующий  вид:

  ,  (1)

где:    компоненты  напряжения  в  декартовой  системе  координат.

Рисунок  1.  Толстостенная  труба  радиусов  , 

Предел  текучести  определим  в  виде:

      (2)

где:  —  малый  безразмерный  параметр.

Перейдем  к  полярным  координатам  в  формуле  (1):

  (3)

    (4)

Из  (3),  (4)  условие  пластичности  в  полярных  координатах  будет  иметь  вид:

  (5)

где      

Предположим:    (6)

с  учетом  обозначений  имеем: 

Уравнения  равновесия  в  полярной  системе  координат:

        (7)

Разложим  напряжение    и  радиус  пластической  зоны    по  малому  параметру  :

,                           (8)

В  нулевом  приближении  для  осесимметрического  состояния  трубы

,  (9)

Из  (1),  (7),  (9)  получим:

  (10)

Совместное  решение  соотношений  (7),  (9),  (10)  даёт:

    (11)

где:  С  —  const.

Предполагается  постоянное  давление  p  на  внутренней  границе  трубы  а  также  то,  что  внешняя  граница  трубы  свободна  от  усилий:

,  (12)

Решая  совместно  (11),  (12)  получаем

.  (13)

В  упругой  области  нулевое  приближение  имеет  вид:

    (14)

Условия  сопряжения  компонент  напряжений  на  упругопластической  границе:

  (15)

Из  (13),  с  учетом  (12)  и  (15)  получаем

.  (16)

В  нулевом  приближении  радиус  упругопластической  зоны  определяется  соотношением  .

Из  (1),  (2),(4),  (8),  (10),  (11)  имеем:

  (17)

Положим:

.  18)

Из  (17),  (18)  получим:

(19)

Условия  равновесия  (7)  удовлетворяются  соотношением  (18).  С  учетом  (17),  (19)  значений  граничных  условий  в  первом  приближении  [1]:

  (20)

находим  решение  в  пластической  зоне:

(21)

Тогда  на  упругопластической  границе  при  из  (21)  вытекает:

  (22)

где 

  (23)

Для  упругой  области  согласно  [1]  находим  напряжения:

  (24)

На  основании(13),  (14)  в  первом  приближении  получим:

  (25)

Границу  упругопластической  области  в  первом  приближении  найдём  из  (21),  (24),  (25): 

  (26)

где

Граница  раздела  упругой  и  пластической  областей  в  нулевом  и  первом  приближении  представлена  на  рис.  2.

Рисунок  2.  Граница  раздела  упругой  и  пластической  областей  в  нулевом  и  первом  приближении

Определено  напряженное  состояние  в  пластической  (21)  и  упругой  (24)  зонах.  Изменение  границы  пластической  зоны  находится  из  соотношений  (26). 

Список  литературы:

1.Ивлев  Д.Д.  Метод  возмущений  в  теории  упругопластического  тела  /  Д.Д.  Ивлев,  Л.В.  Ершов.  М.:  Наука,  1978.  —  208  с.

2.Ивлев  Д.Д.  О  соотношениях  теории  трансляционной  идеально-пластической  анизотропии  при  обобщении  условия  пластичности  Мизеса  /  Д.Д.  Ивлев,  Л.А.  Максимова  //  Вестник  Чувашского  государственного  педагогического  университета  имени  И.Я.  Яковлева.  Серия:  Механика  предельного  состояния.  —  2010.  —  №  2  (8).  —  Ч.  3.  —  С.  583—584. 

3.Кузнецов  П.Н.  Упругопластическое  состояние  неоднородной  плоскости,  ослабленной  круговым  отверстием,  подкрепленной  включениями,  ограниченными  эксцентрическими  окружностями,  при  двуосном  растяжении  /  П.Н.  Кузнецов  //  Вестник  Чувашского  государственного  педагогического  университета  имени  И.Я.  Яковлева.  Серия:  Механика  предельного  состояния.  —  2009.  —  №  1.  —  С.  134—141. 

4.Максимова  Л.А.  Об  упругопластическом  состоянии  неоднородной  трубы,  находящейся  под  действием  внутреннего  давления  /  Л.А.  Максимова,  С.В.  Тихонов  //  Вестник  Чувашского  государственного  педагогического  университета  имени  И.Я.  Яковлева.  Серия:  Механика  предельного  состояния.  —  2007.  —  №  2.  —  С.  91—95. 

5.Митрофанова  Т.В.  Об  условиях  трансляционной  анизотропии  идеальнопластических  тел  при  кручении  /  Т.В.  Митрофанова  //  Вестник  Чувашского  государственного  педагогического  университета  имени  И.Я.  Яковлева.  Серия:  Механика  предельного  состояния.  —  2010.  —  №  2  (8).  —  Ч.  3.  —  С.  596—600.