Статья опубликована в рамках: V Международной научно-практической конференции ««Проба пера» ЕСТЕСТВЕННЫЕ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ» (Россия, г. Новосибирск, 12 марта 2013 г.)
Наука: Информационные технологии
Секция: Информатика
Скачать книгу(-и): Сборник статей конференции
- Условия публикаций
- Все статьи конференции
дипломов
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РЕАЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ: МЕТОД АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ
Хвостиков Александр
1 курс, ГОБУ СПО ВО «СГТЭК», г. Семилуки
Евдокимова Марина Дмитриевна
научный руководитель, преподаватель высшей категории, преподаватель математики, ГОБУ СПО ВО «СГТЭК», г. Семилуки
Очень часто перед человеком стоит выбор: куда пойти учиться, какой фирмы купить компьютер или другой товар, как выбрать имя ребенку и многое другое. И иногда, остановившись на нескольких вариантах, сделать такой выбор очень сложно.
Я хотел бы представить свою работу «Математические модели реальных процессов: метод анализа иерархий».
Этот метод относится к теме «системный анализ».
Системный анализ, чьи основы являются достаточно древними, — все же сравнительно молодая наука. Системный анализ имеет применение в любой предметной области.
Эта наука, как и любая другая, ставит своей целью исследование новых связей и отношений объектов и явлений. Но основной проблемой системного анализа является исследование связей и отношений таким образом, чтобы изучаемые объекты стали бы более доступными для управления и изучения.
«Само слово «система» (организм, строй, целое, составленное из частей) возникло в Древней Греции около 2000 лет назад.
А наибольший вклад в зарождение и развитие системного анализа, системного мышления внесли такие ученые, как: Аристотель, Платон, Р. Декарт, Ф. Бэкон, И. Кант, И. Ньютон, Ф. Энгельс, А.И. Берг, А.А. Богданов, Н. Винер, Л. Берталанфи, Ч. Дарвин, И. Пригожин, Э. Эшби, А.А. Ляпунов, Н.Н. Моисеев и другие» [1, с. 10].
Метод анализа иерархий разработан в 70-х годах XX века американским математиком Томасом Саати (Thomas L. Saaty).
На русском языке метод анализа иерархий подробно описан в его книгах: Т. Саати. «Принятие решений. Метод анализа иерархий» (1993) и Т. Саати, К. Кернс. «Аналитическое планирование. Организация систем» (1991).
В основе этого метода лежит серьезный математический аппарат, но понять основы можно и не обладая глубокими познаниями в математике.
Метод анализа иерархий позволяет произвести выбор необходимого товара или услуги, используя парные сравнения между собой альтернатив и их характеристик.
Под альтернативами понимаются различные варианты выбора, то есть, то из чего мы выбираем. Например, в нашей задаче, альтернативы — это модели ноутбуков, между которыми мы выбирали.
Под характеристиками понимаются различные значимые для выбора свойства альтернатив.
При решении задачи, на первом этапе, я выбрал для себя пять моделей ноутбуков, наиболее понравившихся мне, но окончательный выбор, между которыми сделать так и не смог. И для каждой модели выделил наиболее важные характеристики — процессор, ОЗУ, жесткий диск, размер экрана и цена.
Следующий этап метода анализа иерархий — определение степени важности характеристик. При сравнении, одни из них могут быть важнее, чем другие и задача метода определить степень важности каждого. Для ноутбуков, например, размер жесткого диска, может быть гораздо важнее, чем размер ОЗУ. А может быть и все наоборот, ведь все зависит от человека, который делает выбор.
Для определения степени важности производят парные сравнения всех характеристик между собой по шкале от 1 до 9.
Таблица 1.
Шкала парных сравнений [4]
Интенсивность относительной важности |
Определение |
Объяснение |
1 |
Равная важность
|
Равный вклад двух критериев в цель. |
3 |
Умеренное превосходство одного над другим |
Опыт и суждения дают легкое превосходство одной альтернативы над другой |
5 |
Существенное или сильное превосходство
|
Опыт и суждения дают сильное превосходство одного критерия над другим |
7 |
Значительное превосходство |
Одному из критериев дается настолько сильное предпочтение, что оно становится практически значительным |
9 |
Очень сильное превосходство |
Очевидность превосходства одного критерия над другим подтверждается наиболее сильно |
2,4,6,8 |
Промежуточные решения между двумя соседними суждениями |
Применяется в компромиссных случаях |
Обратные величины приведенных выше чисел |
Если при сравнении одного критерия с другим получено одно из вышеуказанных чисел, то при сравнении второго критерия с первым получаем обратную величину |
|
При сравнении двух характеристик А и Б, что соответствует вопросу «Что важнее А или Б, и на сколько ?», на этой шкале значение 5 обозначает, что Б намного важнее, чем А. Значение 1/5 — что, наоборот, А намного важнее, чем Б. Значение 1, обозначает, что А и Б одинаково важны. Результаты записываем в матрицу парных сравнений.
Затем для определения относительной ценности каждой характеристики я провел вычисления по следующим формулам.
«Сначала вычисляем геометрическое среднее:
Полученные числа необходимо нормализовать.
Для этого определяем нормирующий множитель r:
r =ω1 +ω2 +ω3 + ………+ ωn. (2)
И каждое из чисел ωi делим на r:
qi = ωi/r, (i = 1,2,3,…,n). (3)
В результате получаем вектор приоритетов:
q = (q1, q2, q3, …..qn). (4)
Затем вычисляем индекс согласованности ИС для всей иерархии.
Определяем сумму каждого j-го столбца матрицы суждений:
sj = а1j + а2j+ а3j + … + аn j, j=1,2,3,…,n (5)
Затем полученный результат умножается на j-ю компоненту нормализованного вектора приоритетов qi:
рj= sj·qij, j=1,2,3, ……, n. (6)
Сумма чисел рj отражает пропорциональность предпочтений, чем ближе эта величина к n (числу объектов и видов действия в матрице парных сравнений), тем более согласованны суждения:
λmax = р1+р2+р3+ ……+рn. (7)
Отклонение от согласованности выражается индексом согласованности:
Отношение индекса согласованности ИС к среднему значению случайного индекса согласованности СИ называется отношением согласованности ОС:
Значения СИ берем из таблицы 2:
Таблица 2.
СИ
Размер матрицы |
Среднее значение индекса случайной согласованности (СИ) |
1 |
0.00 |
2 |
0.00 |
3 |
0.58 |
4 |
0.90 |
5 |
1.12 |
6 |
1.24 |
7 |
1.32 |
8 |
1.41 |
9 |
1.45 |
10 |
1.49 |
11 |
1.51 |
12 |
1.48 |
13 |
1.56 |
14 |
1.57 |
15 |
1.59 |
Значение ОС меньше или равное 0,10 считается приемлемым» [3]
На следующем этапе метода я произвел парные сравнения всех альтернатив по каждой из характеристик.
Для сравнений использовал все, ту же шкалу от 1 до 9. После получения всех ответов, данные, также обрабатываются по представленным выше формулам и составляются векторы приоритетов каждой альтернативы по отдельным характеристикам.
На последнем этапе, основываясь на иерархии альтернатив, подсчитываем глобальные приоритеты выбора, умножая вектор приоритетов характеристик и вектор приоритетов каждой альтернативы. И в ответ выбирается та альтернатива (модель) которая получила наибольший результат.
Таким образом, математически вычисляется осознанный выбор человека.
Все вычисления нашей задачи я производил в Excel с помощью формул и на последнем этапе при подсчете глобальных приоритетов, отдельно указывается полученный наибольший результат и соответствующая ему альтернатива. Данное решение также можно легко реализовать с помощью языка программирования VBA.
На примере решенной задачи можно сделать вывод, что метод анализа иерархий — эффективный и доступный нематематику метод; метод легко реализуется в электронных таблицах и не требует больших затрат.
Метод анализа иерархий — математический инструмент системного подхода к сложным проблемам принятия решений. Он не предписывает лицу, принимающему решение, какого-либо «правильного» решения, а позволяет ему найти такой вариант решения, который наилучшим образом согласуется с его пониманием сути проблемы.
В его основе наряду с математикой заложены и психологические аспекты. Метод позволяет понятным и рациональным образом структурировать сложную проблему принятия решений в виде иерархии, сравнить и выполнить количественную оценку альтернативных вариантов решения.
Метод анализа иерархий используется во всем мире для принятия решений в разнообразных ситуациях: от управления на межгосударственном уровне до решения отраслевых и частных проблем в бизнесе, промышленности, здравоохранении и образовании.
«Перечислим примеры задач, для которых возможно применение «Метода анализа иерархий»:
1. выбор руководителем фирмы будущего делового партнера;
2. рациональное распределение доходов предприятия по отраслям;
3. отбор лучших претендентов на рабочие места фирмы;
4. выбор программного обеспечения для нужд фирмы;
5. оценка культурных ценностей (картин, скульптур и т. д.);
6. выбор наилучшей конструкции (варианта) технического изделия;
7. покупка квартиры, дачи, участка, автомобиля;
8. выбор будущего учебного заведения для ребенка;
9. выбор будущего рабочего места.
Список возможных задач можно продолжить» [1. с. 12].
Уникальность метод анализа иерархий состоит в том, что разные люди в одной и той же задаче могут получить разные результаты, просто по той причине, что все зависит от личного выбора человека, от его предпочтений.
Список литературы:
1.Абакаров А.Ш., Сушков Ю.А. Об одном комплексном подходе к принятию рациональ-ных решений // Тезисы Шестого Всероссийского симпозиума по прикладной и промыш-ленной математике. 2005.
2. Казиев В.М. Введение в анализ, синтез и моделирование систем — М.: Интернет-Университет Информационных Технологий: БИНОМ. Лаборатория знаний,2006. — 244 с.
3.Кацман В.Е., Косорукова И.В., Родин А.Ю., Харитонов С.В. Основы оценочной стоимости// учебник. — 3-е издание, переработанное и дополненное. — [Электронный ресурс] — Режим доступа. — URL: http://alt-x.narod.ru/0912ood.htm (дата обращения 15.02.13)
4.«Разработка предложений по формированию оптимальной стратегии предприятия». [Электронный ресурс] — Режим доступа. — URL: http://studentbank.ru (дата обращения 15.02.13).
дипломов
Оставить комментарий