УПРАВЛЕНИЕ  ГАМИЛЬТОНОВОЙ  СИСТЕМОЙ  С  УЧЕТОМ  ВОЗМУЩЕНИЙ

Королев  Владимир  Степанович

канд.  физ.-мат.  наук,  доцент,

Санкт-Петербургский  государственный  университет,

РФ,  г.  Санкт-Петербург,

E-mail: 

Новоселов  Виктор  Сергеевич

д-р  физ.-мат.  наук,  профессор

Санкт-Петербургский  государственный  университет,

РФ,  г.  Санкт-Петербург,

E-mail: 

CONTROLS  OF  THE  HAMILTONIAN  SYSTEM  TAKING  INTO  ACCOUNT  THE  PERTURBATIONS

Vladimir  Korolev

candidate  of  Physical  and  Mathematical  Sciences,  assistant  professor,  Saint-Petersburg  State  University,  Russia,  Saint-Petersburg

Viktor  Novoselov

doctor  of  Physical  and  Mathematical  Sciences,  professor,  Saint-Petersburg  State  University,  Russia,  Saint-Petersburg

Аннотация

Уравнения  движения  механических  систем  во  многих  задачах  содержат  систему  обыкновенных  дифференциальных  уравнений,  которые  можно  записать  в  канонической  форме,  чтобы  получить  дополнительные  возможности  исследования  или  решения.  Рассматриваются  преобразования  уравнений  движения  космических  аппаратов  в  гравитационном  поле  с  учетом  возмущений.

Abstract

Equations  of  motion  of  mechanical  systems  in  many  applications  have  a  system  of  ordinary  differential  equations  that  can  be  written  in  the  canonical  form  to  obtain  additional  research  and  solution.  Transformations  of  the  equations  of  the  spacecraft  motion  in  the  gravitational  field  with  account  the  perturbation  are  considered.

Ключевые  слова:  аналитическая  и  небесная  механика;  космическая  динамика;  теория  управления;  канонические  уравнения  Гамильтона.

Keywords:  analytical  and  celestial  mechanics;  space  dynamics;  theory  of  control;  canonical  equations  of  Hamilton.

Уравнения  движения  механических  систем  во  многих  задачах  содержат  систему  обыкновенных  дифференциальных  уравнений,  которые  можно  записать  в  канонической  форме,  чтобы  получить  дополнительные  возможности  исследования  или  решения. 

Систему  уравнений  динамики,  которые  должны  выполняться  [1;  4–7]  на  допустимом  или  оптимальном  решении  в  задачах  управления

                             (1)

при  выбранных  управлениях  в  виде  функций  времени    можно  представить  системой  в  форме  канонических  уравнений  Гамильтона  для  вектора  фазовых  переменных  ,  если  правые  части  выражаются  через  частные  производные  функции  Гамильтона 

                        (2)

При  этом  задачи  оптимального  управления  для  механических  систем  приводятся  к  сложным  нелинейным  уравнениям  необходимых  условий  экстремума  для  условного  функционала  в  расширенном  пространстве  допустимых  траекторий,  который  в  постановке  Больца  имеет  вид

                      (3)

Для  подынтегральной  функции    были  введены  дополнительные  функции  ,  которые  называют  множителями  Лагранжа.  Вариация  условного  функционала  (3)  для  критерия  качества  с  использованием  функции  Понтрягина 

                                                (4)

для  задачи  управления  дает  набор  уравнений  следующих  необходимых  условий  стационарности: 

·     уравнения  движения  в  виде 

,                                            (5)

·     уравнения  Эйлера–Лагранжа 

,                                      (6)

·     общее  условие  трансверсальности

.                                           (7)

Получаем  систему  сопряженных  уравнений  для  вектора  дополнительных  переменных  ,  которые  играют  роль  обобщенных  импульсов  в  системе  уравнений  (5)  и  (6),  имеющих  вид  уравнений  Гамильтона  (2)  для  функции  (4)  Понтрягина  H  условного  функционала,  а  также  условие  максимума  функции  по  управлениям 

.                                              (8)

Это  справедливо  в  случае  внутреннего  экстремума  по  управлению.  При  достижении  управляющих  функций  граничных  значений  должно  выполняться  неравенство  соответствующего  знака.  Более  общим  и  удобным  является  уравнение  принципа  максимума  Понтрягина,  которое  для  линейных  задач  используется  для  прямого  определения  значения  управляющих  функций.

Краевые  условия  трансверсальности  (7)  дают  выражения  для  вариации  функций  в  случае  независимости  варьируемых  (2n+2)  параметров  или  развернутые  условия  трансверсальности,  которые  должны  решаться  совместно  с  уравнениями  связей  для  граничных  значений  .

Предполагаем,  что  функции  в  уравнениях  с  учетом  возмущений  содержат  малый  параметр,  а  уравнения  Гамильтона  (2)  имеют  в  нулевом  приближении  при    общее  решение,  которое  можно  получить  в  специальном  виде  функций  времени  и  полного  набора  произвольных  постоянных 

()=.                        (9)

Тогда  справедлива  теорема  [6],  которая  определяет  решение  уравнений  Эйлера–Лагранжа  (6),  а  также  содержание  функции  Понтрягина  (4)  для  задачи  оптимизации.

Теорема  (Новоселов).  Пусть  ,  а  функция    минимизируемого  функционала  (3)  не  зависит  явно  от    и  .  Тогда  общее  решение  уравнений  Эйлера–Лагранжа  будет  определяться  соотношениями

                                  (10)

где    –  новые  произвольные  постоянные.  По  дважды  повторяющимся  индексам  выполняется  суммирование  от  1  до  .  Функция  Понтрягина  в  этом  случае  получается  из  выражения

                                                            (11)

Условиям  теоремы  удовлетворяет  участок  баллистического  движения  космического  аппарата  в  центральном  гравитационном  поле,  когда  кинетическая  и  потенциальная  энергия  имеют  вид

                              (12)

Основные  критерии  в  задачах  оптимизации  движения  по  расходу  топлива    или  быстродействию  .  Если  ,  то  можно  рассматривать  функцию  в  виде  .

Функция  Гамильтона    равна  сумме  кинетической    и  потенциальной  энергии  ,  если  все  силы  потенциальны. 

Рассмотрим  для  описания  движения  в  плоскости  орбиты  канонические  переменные  на  основе  полярных  координат

                                               (13)

Выражая  их  через  кеплеровы  элементы  ,  получим  новые  выражения

                                 (14)

Истинная  аномалия    будет  зависеть  от  момента    прохождения  через  перицентр  орбиты  и  других  элементов  в  силу  интеграла  площадей  [7].

Преобразование  необходимых  условий  стационарности  функционала  при  замене  переменных  позволяет  получить  лагранжевы  множители  с  помощью  вычисления  изохронных  производных  по  соответствующим  постоянным  .  Это  позволяет  последовательно  определить  аддитивные  возмущения  исходных  уравнений  методом  малого  параметра  Пуанкаре.  Так  было  сделано  для  первого  приближения  [8;  9]  в  задаче  оптимального  перехода  в  центральном  гравитационном  поле. 

Аналогичное  построение  последовательных  приближений  можно  реализовать  для  уравнений  ограниченной  задачи  трех  тел,  которые  в  результате  обобщенного  преобразования  Биркгофа  [2;  3;  10]  приводятся  к  виду  канонических  уравнений  для  вектора  регулярных  элементов  при  увеличении  размерности  фазового  пространства.  Множество  допустимых  траекторий  может  содержать  движения,  близкие  к  соударению  с  главными  телами,  которые  являются  притягивающими  центрами  системы.  Это  определяет  особенности  уравнений  движения  и  решений,  что  требует  дополнительных  преобразований  совокупности  необходимых  условий  экстремума.

Список  литературы:

1. Королев  В.С.  Определение  движения  навигационных  спутников  с  учетом  возмущений  //  Вестник  С-Петерб.  Ун-та,  сер.10,  вып.  3,  2004.  –  С.  39–46.
2. Королев  В.С.  Асимптотические  методы  вычисления  и  оптимизации  траекторий,  близких  к  соударению  //  Динамика  механических  систем.  –  Томск:  изд.  ТГУ,  1987.  –  С.  174–176.
3. Королев  В.С.  Управление  возмущенным  движением  в  регуляризованной  задаче  трех  тел  //  Вопросы  механики  и  управления  движением.  –  Л.:  изд.  ЛГУ,  1991.  –  С.  71–78.
4. Королев  В.С.  Моделирование  оптимальных  траекторий  космических  аппаратов  при  наличии  ограничений  //  Управление  в  морских  и  аэрокосмических  системах.  –  СПб.:  изд.  ЦНИИ  «Электроприбор»,  2014.  –  С.  446–450.
5. Королев  В.С.  Оптимальные  траектории  перехода  космических  аппаратов  между  заданными  орбитами  различного  типа  //  Технические  науки  –  от  теории  к  практике,  №  32,  2014.  –  Новосибирск:  изд.  «СибАК»  –  С.  62–70.
6. Королев  В.С.,  Новоселов  В.С.  Аналитическая  механика  управляемой  системы.  Учебное  пособие.  –  СПб.:  СПбГУ,  2005.  –  298  с.
7. Новоселов  В.С.  Аналитическая  теория  оптимизации  в  гравитационных  полях.  –  Л.:  изд.  ЛГУ,  1972.  –  317  с. 
8. Новоселов  В.С.  О  слабом  управлении  возмущенной  гамильтоновой  системой  //  Вестник  СПбГУ,  сер.  1,  вып.  4,  1993.  –  С.  66–70.
9. Новоселов  В.С.,  Королев  В.С.  Об  управлении  возмущенной  гамильтоновой  системой  //  Труды  международной  конференции  «Автоматика-96»,  т.  1,  –  Севастополь:  изд.  СевГТУ,  1996.  –  С.  74–75.
10. Штифель  Е.,  Шейфеле  Г.  Линейная  и  регулярная  небесная  механика.  –  М.:  Наука,  1975.  –  304  с.