ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ

В курсе матeматического анализа встречаются различныe понятия предела. При этом различный смысл вкладывается в понятия близости частей изучаемых множеств и понятия расстояния между элементами. Все различные случаи объединяются общим понятием метрики.

Определение 1. Метрикой (или расстоянием) на множестве E называется функция  аксиомам (теоремами) метрики:

1.

2.

3.

4.

Множество E с заданным на этом множестве расстоянием  называется метрическое пространством. Метрическое пространство принято обозначать как (Е,).

Элементы содержащиеся в Е называют точками метрического пространства. По определению метрика  каждый упорядоченной паре точек Е сопоставляет действительное число. Это число не отрицательное по теореме 1, причем отлично от нуля, если точки разные, по аксиоме 2. Аксиома 3 –аксиомой симметрии, а 4 – аксиомой (неравенством) треугольника.

Простейшим примером метрического пространства является множество действительных чисел R с метрикой

В данном случае теоремы метрики вытекают из параметров модуля. Метрику можно определить на любом непустом множестве Е.

Отметим, что если (Е,) также метрическое пространство. Кроме того, на одном и том же множестве Е могут быть заданы различные метрики  и . При этом () и () различные метрические пространства.

Перечень  аксиом мeтрики можно было бы умeньшить, в связи с тем, что аксиомы 1 и 3 следуют из 2 и 4, записанной в виде  +   Чтобы убедиться в этом достаточно взять условие, что y=x или z=x.

Нормированное векторное пространство. Сосредоточим внимание на алгебраической структуре изучаемых множеств,

Определение 2. Множество Е называется векторным (или линейным) пространством над полем R, если  х ,у Е определен элемент E называемый суммой и обозначаемый х+у , и , определен элемент Е, называемый произведением и обозначаемый , причем выполнены следующие условия (аксиомы векторного пространства):

1.  (коммутативность сложения),

2.  (ассоциативность сложения),

3.  (дистрибутивность),

4.  (дистрибутивность),

5.  (ассоциативность умножения),

6. ,

7. Существует элемент  такой, что ,  называется нулем векторного пространства.

Вектор – это элемент векторного пространства, а числа из R – скалярами. Вместо поля скаляров R часто рассматривают поле С комплексных чисел в определении векторного пространства.

Из аксиом векторного пространства в частности получается, что нуль единственный. Дeйствитeльно, если  и , нули, то . Далее,  так как  любого .

Вектор, в сумме с х дающий , называется противоположным х и обозначается как ( -x ). Так как . Также нетрудно убедиться, что противоположный вектор единственный.

При наличии такой записи: , для удобства записывают .

Заметим, что не всякое подмножество векторного пространства является векторным пространством.

Определение 3. Нормой на векторном пространствe Е называeтся функция , удовлетворяющая условиям (аксиомам нормы):

1.

2.

3.  (положительная однородность)

4.  (неравенство треугольника).

Векторное пространство Е с введенной на нем нормой  понимается  как нормированное векторное пространство и его принято обозначаеть (Е, ).

Норма в Е позволяет ввести метрику последующим равенством

.

Проверим выполнение аксиом метрики. Из теорем нормы следует, что . Заметим, .

Аксиома симметрии следует из того, что  , а неравенство треугольника из того, что .

Таким образом, нормированное векторное пространство является метрическим пространством с метрикой , где норма х - это расстояние от х до .

Ниже приведем примеры метрических пространств.

1. Положив для элементов произвольного множества

Как видно мы получили, метрическое пространство. Это пространство можно назвать пространством изолированных точек.

2. Множество действительных чисел с расстоянием

Образуeт мeтричeское пространство .

3. Множество упорядоченных групп из n действительных чисел x=() с расстоянием

                                          (1)

называется n-мерным арифметическим евклидовым пространством . Справедливость теорем 1) и 2) для  очевидна. Покажем, что в  выполняется аксиома треугольника.

Пyсть x=(, y=(,  и z=(; тогда аксиома треугольника записывается в виде

          (2)

Полагая, что  получаем , а неравенство (2) принимает при этом вид

(3)

Это неравенство сразу следует на известного неравенства Коши-Буняковского.

 (4)

Действительно в силу этого неравенства имеем

Таким образом, неравенство (3), а следовательно и (2) доказано.

Неравенство Коши - Буняковского вытекает из тождества

которое проверяется непосредственно.

4. Разберем то же самое множество упорядоченных групп из n действительных чисел x=(,но расстояние зададим через формулу

.                                            (5)

Справедливость аксиом 1) - 3) здесь очевидна. Примем это метрическое пространство символом .

5. Возьмем аналогичное множество, что и в примерах 3 и 4, и определим расстояние между его элементами формулой

 .                                     (6)

Справедливость аксиом1)-3) очевидна. Это пространство, которое мы обозначим ,во многих вопросах анализа не менее удобно, чем евклидово пространство .

Последние три примера демонстрируют, что иногда и в самом деле принципиально иметь различные обозначения для самого метрического пространства и для огромного количества  его точек, так как один и тот же запас точек может быть  по разному метризован.

6. Mножество C[a,b] всех непрерывных действительных функций, определенных на сегменте[a,b] с расстоянием

.                                            (7)   

Кроме того, образует метрическое пространство. Теоремы 1) - 3) проверяются непосредственно. Это  пространство играет важную роль в анализе. Мы будем его обозначать тем же символом С[a,b], что и само множество точек этого пространства. Вместо С[0,1]    мы будем писать просто С.

7. Обозначим через    метрическое пространство, точками которого служат все возможные последовательности x=(     действительных чисел, удовлетворяющие условию

расстояние определяется формулой      

                                                         (8) 

Из элементарного неравенство  следует, что функция  имеет смысл для всех x, y,т.е. ряд  сходится, если

 и .

Покажем тeпeрь, что функция (8) удовлетворяeт теоремам мет­рического пространства. Теоремы 1) и 2) очевидны, а аксиома треугольника будет иметь вид:

. (9)

В силу сказанного выше каждый из трех написанных здесь рядов сходится. С другой стороны, при каждом n справедливо неравенство

.

Чтобы получить неравенство треугольника  (9) необходимо перейти к пределу при .

Список литературы:

1. Александров, П.С. Введение в общую теорию множеств и функций [Текст]/ П.С. Александров, Гостехиздат, 1948
2. Богачев, В. И. Действительный и функциональный анализ [Текст]/ В.И. Богачев, О. Г. Смолянов Университетский курс. РХД, 2009. 724 стр. ISBN 978-5-93972-742-6.
3. Кириллов, А. А. Теоремы и задачи функционального анализа  [Текст]/ А. А. Кириллов, А. Д. Гвишиани 2-е изд., перераб. и доп. Москва "Наука", 1988. 400 стр.
4. Хелемский, А. Я. Лекции по функциональному анализу [Электронный ресурс]/ А. Я. Хелемский МЦНМО, 2004. 552 стр. ISBN 5-94057-065-8. http://rusfolder.com/33396508 (дата обращения 15.05.2018 г.)
5. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциальных уравнений [Текст]/ Г.М. Фихтенгольц  т. 1, 1947, стр.401
6. Хелемский, А. Я. Лекции по функциональному анализу [Электронный ресурс]/ А. Я. Хелемский МЦНМО, 2004. 552 стр. ISBN 5-94057-065-8. http://rusfolder.com/33396508 (дата обращения 15.05.2018 г.)
7. Шилов, Г. Е. Математический анализ [Текст]/ Г. Е. Шилов Cпециальный курс. ГИФМЛ, 1961.