АНАЛИЗ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ

В данной части для производственных функций А и В необходимо получить выражения экономико-математических характеристик: среднего продукта, предельного продукта и коэффициентов эластичности по ресурсам.

Начнем с фирмы А.

Найдем для производственной функции фирмы А выражения средних продуктов. Средние продукты характеризуют удельный эффект использования ресурсов в производственном процессе фирмы.

Так как мы рассматриваем данные показатели по одному ресурсу, пусть это будет оборудование. Для него характерен такой показатель, как средняя фондоотдача.

Средняя фондоотдача – это отношение объема произведенного продукта к стоимости основных фондов:

                                               (1),

где

AQ–средняя фондоотдача;

Q_А – объём произведённой продукции;

K_A– количество капитала, необходимое для производство данного объёма продукции

Подставим в данную формулу производственную функцию Кобба-Дугласа с имеющимися данными:

                                                     (2),

где

K_A – количество капитала, необходимое для производства данного объёма продукции;

L_A – количество труда, необходимое для производства данного объёма продукции.

Теперь перейдём к расчёту предельной фондоотдачи, то есть величины дополнительного эффекта от каждой затраченной единицы капитала при данном сочетании ресурса (MQ_K).

Предельные продукты характеризуют эффект в виде прироста объема продукции, получаемый от увеличения затрат ресурсов.

В нашем случае это предельная фондоотдача. Она характеризует величину дополнительного эффекта от каждой  затраченной  единицы  капитала при данном сочетании ресурсов (K, L) :

                                                           (3),

где

MQ_А – предельный продукт;

- частная производная объёма произведённой продукции по количеству ресурса.

Теперь подставим в данную формулу производственную функцию, получим:

(4)

Кроме того, при анализе производственных функций необходимо учитывать безразмерный коэффициент, характеризующий процент прироста объёма выпуска продукции при увеличении затрат ресурса на 1%, то есть коэффициент эластичности.

Эластичность продукта по фондам находится по формуле:

 = 0,25                                     (5),

где

E_K – коэффициент эластичности по фондам

Имея найденные данные сведем их в одну таблицу (таблица 1).

Таблица 1.

Анализ экономико-математических характеристик фирмы А

Используя полученные формулы, проанализируем зависимость данных характеристик от выбранного ресурса фирмы А, обратимся к рисунку:

Рисунок 1. Экономико - математические характеристики производственной функции фирмы А

Анализируя полученный график, можно сделать несколько выводов:

1.кривая средней фондоотдачи расположена выше кривой предельной фондоотдачи, следовательно, AQ_K>MQ_K;

2.кривые AQ_K и MQ_K являются убывающими, так как коэффициент α<1;

3.линяя, отражающая E_K является прямой, расположенной параллельно оси К, а значит, E_K=const.

Выведем формулы для расчёта данных экономико-математических показателей для фирмы В.

Для расчёта среднего продукта () по ресурсу 1, характеризующего удельный эффект использования ресурса в производственном процессе фирмы, подставим производственную функцию данной организации в формулу и получим:

                                       (6),

где

х_В1 – количество первого ресурса, необходимое для производства данного объёма продукции;

х_В2– количество первого ресурса, необходимое для производства данного объёма продукции.

При вычислении предельного продукта, показывающего эффект в виде объёма продукции, получаемой от увеличения затрат ресурсов (), тоже подставим производственную функцию и получим:

                                           (7)

Коэффициент эластичности () для данной производственной функции вычисляется по формуле:

                                               (8)

Таблица 2.

Анализ экономико-математических характеристик фирмы В

Теперь, используя полученные формулы, проанализируем зависимость данных характеристик от выбранного ресурса уже в производственной функции фирмы В.

Рисунок 2. Экономико - математические характеристики производственной функции фирмы В

Анализируя полученный график, можно сделать несколько выводов:

1.кривая среднего продукта AQ_х1 является убывающей, так как коэффициент α<1;

2.линяя предельного продукта MQ_х1 является прямой, параллельной оси х₁, а значит, MQ_х1=const;

3.кривая E _х1начинает постепенно возрастать, так как MQ_х1=const, AQ_х1 убывает, следовательно, E _х1 зависит только от AQ_х1. Данная зависимость обратна пропорциональная, поэтому коэффициент эластичности возрастает.

Список литературы:

1. Красс  М.С.  Математика  в  экономике:  математические  методы  и  модели  учебник  для  бакалавров.  2-е  изд.  испр.  и  доп.,  2013.

2.Кремер  Н.Ш.  Теория  вероятностей  и  математическая  статистика  учебник  3-е  изд.  М.  2010.

3.Левин  Д.М.  и  др.  Статистика  для  менеджеров.  М:  Вильямс,  2004  —с.300—303.