ПРИМЕНЕНИЕ  МЕТОДА  ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ  ПОДСТАНОВКИ  ПРИ  РЕШЕНИИ  НЕСТАНДАРТНЫХ  ЗАДАЧ

Войлошникова  Наталья

класс  11  «Б»,  МОУ  гимназия  №  11,  г.  Волгоград

Резниченко  Дарья  Анатольевна

научный  руководитель,  учитель  первой категории,  учитель  математики  и  информатики,  МОУ  гимназия  №  11,  г.  Волгоград

Нестандартные  задачи  —  это  задачи,  решаемые  не  по  строго  отработанному  алгоритму,  а  требующие  эвристического  подхода  к  основному  вопросу  и  опыта  решения  сложных  задач  различной  глубины.  На  наш  взгляд,  сложные  задачи  лежат  в  основе  нестандартных.

Суть  процесса  решения  нестандартных  задач  мы  видим  в  том,  чтобы,  имея  определенный  багаж  знаний  в  области  методики  решения  сложных  задач,  суметь,  используя  эвристическую  составляющую  математики,  а  так  же  логическое  и  математическое  мышления,  найти  путь  (или  же  пути)  к  истинному,  рациональному  решению  задачи.  А  это  достаточно  весомо  при  развитии  творческого,  индивидуального  подхода  к  решению.

Эти  знания  старшеклассники  могут  приобрести  на  факультативных  занятиях  по  математике,  а  так  же  при  изучении  данной  дисциплины  на  профильном  и  углубленном  уровне  с  большим  спектром  дидактического  материала,  требующего  многослойных  операций  и  нестандартных  подходов  к  решению  задачи  [2].  Ведь  нестандартные  задачи  и  нестандартно  решаются.  Нестандартные  задачи  практически  всегда  ученик  может  встретить  в  олимпиадных  и  конкурсных  работах  всероссийского  и  международного  уровнях.  Такие  задачи  далеко  не  редкость  в  части  С  единого  государственного  экзамена  по  математике.

К  числу  нестандартных  методов  решения  алгебраических  задач  (метод  функциональной  подстановки;  методы,  основанные  на  монотонности  функций;  метод  мажорант;  методы  решения  симметрических  систем  уравнений;  методы,  основанные  на  использовании  ограниченности  функций;  методы  решения  функциональных  уравнений;  методы  решения  уравнений,  содержащих  целые  или  дробные  части  числа)  и  относится  метод,  основанный  на  применении  тригонометрической  подстановки.  Если  исходное  алгебраическое  уравнение  схоже  с  тригонометрическими  тождествами,  выражениями,  и  его  совсем  не  просто  решить,  можно  воспользоваться  введением  тригонометрической  подстановки,  сведя  исходное  алгебраическое  уравнение  к  тригонометрическому,  заменив  переменную  x  на  cosᵩ,  или  x  на  ᵩ,  а  также  x  некоторой  функцией  от  sinᵩ,  cosᵩ  или  ᵩ.  Решение  получившегося  уравнения  является  решением  исходного  [3].

Рассмотрим  использование  метода  тригонометрической  подстановки  при  решении  нестандартной  задачи.

Решить  систему  уравнений 

Решение.  Поскольку    ,  то  положим  ,  тогда   .  Тогда    .  В  таком  случае      и  исходная  система  уравнений  принимает  вид 

Из  первого  уравнения  получившейся  системы  получаем     ,  Следовательно,  получаем  систему 

Отсюда  следует     .

Ответ: .

Подобные  задачи  формируют  математический  склад  ума,  логическое  мышление,  эвристические  методы  решения  сложной  задачи,  учат  находить  собственную  траекторию  хода  решения,  базируясь  на  опыте  решения  сложных  задач.  Гибкость  ума  —  это  яркий  компонент  при  решении  задач  методом  тригонометрической  подстановки.

Использование  метода  тригонометрической  подстановки  при  решении  нестандартных  задач,  требует  от  ученика  безупречного  умения  осуществлять  тригонометрические  и  алгебраические  преобразования,  а  от  учителя  грамотного  пояснения  введенных  замен  [1].  Имея  большое  желание  решать  нестандартные  задачи,  и,  изучив  метод  тригонометрической  подстановки  как  один  из  основных  при  решении  нестандартных  задач,  ученик  подготовит  себя  к  сдачи  единого  государственного  экзамена  на  высоком  уровне,  что,  безусловно,  пригодиться  ему  в  ВУЗе.

Список  литературы:

1.Московский  государственный  университет  //  Математика  в  школе.  —  №  10.  —  2002.  —  С.  28—43.

2.Олехник  С.Н.  Нестандартные  методы  решения  уравнений  и  неравенств:  Справочник  /  С.Н.  Олехник,  М.К.  Потапов,  П.И.  Пасиченко.  —  М.:  Изд-во  МГУ,  1991.  —  С.  143.

3.Потапов  М.К.  Рассуждения  с  числовыми  значениями  при  решении  систем  уравнений  /  М.К.  Потапов,  А.В.  Шевкин  //  Математика  в  школе.  —  №  3.  —  2005.  —  С.  24—29.