ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ ПО ЭЛЕМЕНТАМ ДЛЯ ЗАДАЧИ ДВУХ ТЕЛ

COMPUTING DERIVATIVES WITH RESPECT TO ELEMENTS FOR THE TWO-BODY PROBLEM

Levon Babadzanjanz

doctor of Science, professor of Saint-Petersburg State University,

Russia, Saint-Petersburg

Anna Bregman

student of Saint-Petersburg State University,

Russia, Saint-Petersburg

Konstantin Bregman

senior Lecturer of Saint-Petersburg State University,

Russia, Saint-Petersburg

Polina Kasikova

system administrator, Administration-Service of Information Technologies

of Saint-Petersburg State University,

Russia, Saint-Petersburg

Leon Petrosyan

doctor of Science, professor of Saint-Petersburg State University, Saint-Petersburg

Russia, Saint-Petersburg

Работа выполнена при поддержке гранта СПбГУ 9.37.345.2015.

АННОТАЦИЯ

В предыдущей работе мы вывели для задачи двух тел ряд полных систем уравнений в частных производных с полиномиальными правыми частями. В настоящей работе, с помощью этих уравнений мы показываем, как получить частные производные по элементам для координат и скоростей.

ABSTRACT

In previous work, we deduced for the two-body problem a number of total systems of partial differential equations with polynomial right-hand sides. In this paper, using these equations we show how to obtain the partial derivatives with respect to elements for coordinates and velocities.

Ключевые слова: задача двух тел, полная система, производные по элементам.

Keywords: two-body problem, total system, derivatives with respect to elements.

1.  Введение

Представленные в настоящей (и предыдущей) статье результаты получены в рамках идей, предложенных в диссертации [3] одного из авторов (К. Брэгмана) и частично пересекаются с материалом главы 5 этой диссертации. Как и в работе [2], здесь мы рассматриваем эллиптический вариант небесномеханической задачи двух тел [1; 2; 5–7]. Цель настоящей работы – предложить для этой задачи эффективный алгоритм вычисления частных производных от декартовых координат и скоростей по Кеплеровым элементам. Алгоритм использует полученные в [2] полные системы уравнений в частных производных с полиномиальными по неизвестным правыми частями (полиномиальные системы) для координат, скоростей и некоторых других величин, рассматриваемых как функции времени и того или иного набора элементов. Далее, в настоящем разделе 1 (Введение) мы напоминаем обозначения и формулы для эллиптического варианта задачи двух тел. В разделе 2, на основе полученных в работе [2] полных систем уравнений в частных производных для этой задачи мы выписываем формулы для производных первого порядка по элементам и времени, а в разделе 3 обсуждаем как получать производные высших порядков и приводим соответствующие формулы.

Как и в работе [2] (и с использованием тех же обозначений), рассмотрим уравнения движения точки в ньютоновом силовом поле

 (или),                                      (1)

и решение этих уравнений для эллиптического случая [1; 2; 5–7]:

,                        (2)

                                                                                          (3)

                                                                   (4)

В формулах для производных по времени и элементам, которые мы рассмотрим в разделах 2 и 3, используются следующие связанные с (1) – (4) независимые аргументы  и функции :

 ;

                                                                         (5)

2.  Первые производные по Кеплеровым элементам

Для того, чтобы получить первые производные функций  и, в частности координат и скоростей  по времени и элементам , естественно использовать полиномиальные полные системы, полученные в разделах 1.4, 2 и 3 работы [2]. Кроме того, для получения производных координат и скоростей по  используем формулы (2) для  Таким образом получаем:

3.  Старшие производные по Кеплеровым элементам

Полученные в разделе 2 формулы для производных запишем в виде

                                                (6)

где:  – алгебраические полиномы по аргументам  а сами эти аргументы определяются формулами (5). Будем использовать обозначения:

,

 .

При  () первые производные

                                                        (7)

·     известные полиномы по (см. (6)). Для старших производных непосредственным дифференцированием получаем рекуррентные формулы:

   (8)

На самом деле, вместо формулы (8) естественно получить старшие производные при помощи какого-либо пакета компьютерной алгебры, например Maple [8] или Wolfram Mathematica [9], и рекуррентных соотношений

                                                                                        (9)

4.  Заключение

В работе [2] мы вывели для задачи двух тел полные системы уравнений в частных производных с полиномиальными правыми частями. В настоящей работе (см. раздел 2 и формулы (6) – (9) раздела 3) мы рассмотрели, как эти уравнения можно использовать для получения производных произвольного порядка от эксцентрической аномалии, координат и скоростей по времени и элементам. Важно отметить, что алгоритм вычисления искомых производных состоит из трех шагов: вначале по формулам (5) вычисляются все переменные , затем вычисляются по формулам раздела 2 все первые производные и, наконец, по формулам (7), (8) или (9) вычисляются старшие проиводные (до любого требуемого порядка). Отметим, что все выкладки могут проводится как в аналитической, так и в численной форме, причем после нахождения  все остальные выкладки состоят из умножений и сложений полиномов по этим переменным.

Список литературы:

1. Абалакин В. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под ред. Г. Дубошина / В. Абалакин, Е. Аксёнов, Е. Гребеников, В. Демин, Ю. Рябов // – М.: Наука, 1976. 864 с.

2. Бабаджанянц Л. Полные системы уравнений для задачи двух тел / Л. Бабаджанянц, А. Брэгман, К. Брэгман, П. Касикова, Л. Петросян // НП «Сибак», Сборник статей LXI Межд. Конф., Секция: Аэрокосмическая техника и технологии. № 8 (56). 2016. C.

3. Брэгман К. Математические модели возмущенного движения в центральных полях. / К. Брэгман. Канд. Дисс. // СПб: СПбГУ. 2014. 181 с.

4. Гайшун И. Вполне разрешимые многомерные дифференциальные уравнения. / И. Гайшун // – М.: Наука и техника. 1983. 272 с.

5. Дубошин Г. Небесная механика. Основные задачи и методы. 3-е изд. / Г. Дубошин // – М.: Наука, 1975. 800 c.

6. Субботин М. Введение в теоретическую астрономию / М. Субботин // – М.: Наука, 1968. 800 с.

7. Холшевников К. Задача двух тел. / К. Холшевников, В. Титов // – СПб: Изд-во С.-Петеб. Ун-та, 2007. 180 с.

8. Maplesoft Documentation Center // – [Электронный ресурс] – Режим доступа. – URL: http://www.maplesoft.com/documentation_center/ (Дата обращения 01.08.2016).

9. Wolfram Mathematica Documentation Center // – [Электронный ресурс] – Режим доступа. – URL: http://reference.wolfram.com/mathematica/guide/Mathematica.html (Дата обращения 01.08.2016).