ЧАСТНЫЙ  СЛУЧАЙ  СИНТЕЗА  ОПТИМАЛЬНОГО  ПО  БЫСТРОДЕЙСТВИЮ  УПРАВЛЕНИЯ  ДЛЯ  ОДНОЙ  НЕЛИНЕЙНОЙ  СИСТЕМЫ

Моисеев  Игорь  Анатольевич

канд.  физ.-мат.  наук,  доцент  по  кафедре  компьютерных  технологий  и  систем,  доцент  Санкт-Петербургского  государственного  университета,  РФ,  г.  Санкт-Петербург

E-mail:  mig1256@mail.ru

A  SPECIAL  CASE  OF  SYNTHESIS  OF  A  TIME  OPTIMAL  CONTROL  FOR  ONE  NONLINEAR  SYSTEM

Igor  Moiseyev

candidate  of  Physical  and  Mathematical  Sciences,  associate  professor  of  the  Department  of  Computer  Technologies  and  Systems,  Saint  Petersburg  State  University,  Russia  Saint  Petersburg

АННОТАЦИЯ

Рассматривается  задача  оптимального  быстродействия  при  выводе  управляемого  объекта  в  начало  координат  с  заданным  курсовым  углом.  При  условии  постоянства  значения  курсового  угла  определяется  количество  точек  переклю­чения  управления  скоростью  и  находятся  соответствующие  траектории.

ABSTRACT

Time  optimal  problem  with  a  controlled  object  moved  to  the  origin  of  coordinates  with  a  prescribed  course  angle  is  considered  in  the  article.  Under  the  condition  of  the  constancy  of  a  course  angle  value  the  number  of  points  for  speed  control  switching  is  defined  and  the  corresponding  trajectories  are  found. 

Ключевые  слова:  принцип  максимума;  гамильтониан;  сопряженная  сис­тема;  оптимальное  быстродействие;  курсовой  угол.

Keywords:  maximum  principle;  Hamiltonian;  conjugate  system;  time  opti­mal  action;  course  angle. 

Рассматриваемая  ниже  нелинейная  система  обыкновенных  дифференци­альных  уравнений  четвертого  порядка  может  описывать  движение  самолета  при  наличии  бокового  ветра  или  же  движение  корабля.  К  таким  системам  обычно  сводятся  и  задачи  преследования  [8].  При  этом  движение  управляемого  объекта  (преследователя)  рассматривается  в  относительной  системе  координат  [5,  6,  8],  к  которой  приходят  путем  стандартных  преобразований  исходной  сис­темы.  Итак,  исходная  система  имеет  вид 

где:    ––  геометрические  координаты  управляемого  объекта, 

  ––  курсовой  угол,  отсчитываемый  по  часовой  стрелке  от  положительного  направления  оси  OY,  до  вектора  скорости  ,  удовлетворяющий  ограничению  .  Управляющая  вектор-функция  выбирается  из  класса  кусочно-непрерывных  функций  и  удовлетворяет  ограничениям  .  Модуль  скорости  объекта  ,  где  .  Данное  ограничение  соответст­вует  ограничению,  наложенному  на  изменение  курсового  угла  и  означает,  что  управляемый  объект  может  совершить  полный  разворот,  если  его  текущая  ско­рость  равна  начальной,  например,  при  начале  движения.  Величины    ––  положительные  постоянные,  причем  возмущения    не  равны  нулю  одновременно.  Требуется  из  заданного  начального  положения    перевести  объект  в  область  ,  где    ––  конечный  момент  времени  за  минимальное  время,  т.е.  решить  задачу  оптимального  быстродейст­вия.  Рассматриваемая  математическая  модель  описывает  физическую  задачу  захода  самолета  на  посадку  при  наличии  бокового  ветра  на  авиаматку  или  на  взлетно-посадочную  полосу,  или  же  задачу  стыковки  (перехвата).  В  несколько  иной  постановке  существование  оптимального  по  быстродействию  движения  для  подобной  системы  рассматривалось  неоднократно.  Например,  в  работах  [2,  3]  была  решена  задача  вывода  объекта  в  начало  координат  с  произвольным  курсовым  углом,  нулевыми  возмущениями  и  неограниченной  скоростью  управ­ляемого  объекта.  В  работе  [5]  для  системы  с  нулевыми  возмущениями  решается  задача  разработки  алгоритма  построения  информационного  множества.  Игро­вая  постановка  задачи  (игра  «шофер-убийца»)  была  предложена  и  описана  Р.  Айзексом  [1,  9].  Система,  наиболее  близкая  к  рассматриваемой  в  данной  ра­боте,  решалась  в  [11].  Другие  варианты  игры  ее  модификации,  различные  чис­ленные  методы  и  алгоритмы  ее  решения  рассматриваются  в  работах  [6,  10].  От­личие  рассматриваемой  постановки  заключается  в  ограничении  конечного  зна­чения  курсового  угла  и  в  ограничении  скорости  объекта. 

В  работе  [4]  был  рассмотрен  случай,  когда  решение  поставленной  задачи  возможно  без  переключения  управления  курсовым  углом  при  ,  Ниже  рассмотрим  ситуацию,  когда  существуют  искомые  траектории,  что  для  движе­ния  без  переключения  управления    с  постоянным  курсовым  углом  равным  нулю,  т.е.    и  .  Гамильтониан  системы  (1)  имеет  вид  [7]:

         (2)

а  система,  сопряженная  (1)

  (3)

Из  системы  (3)  следует,  что  .  Предположим,  что  для  вывода  объекта  в  начало  координат  требуется  более  одного  переключения  управления  скоростью.  Так  как  гамильтониан  постоянен  по  времени  на  удовлетворяющей  принципу  максимума  траектории  [7],  то

                                (4)

где:    ––  моменты  переключения  управления  .  Из  условия  (4)  с  учетом  (2)  и  условий  ,  получим,  что

Рассматривая  каждую  пару  равенств  и  проводя  соответствующие  упрощения,  получим,  что  ,  т.  е.  значения  скорости  объекта  в  точках  переключения  управления    равны.  Отсюда  несложно  сделать  вывод,  что  иско­мые  траектории  имеют  не  более  двух  точек  переключения  управления  скоро­стью,  т.  е.  имеют  место  следующие  наборы  управления  :  (1-1)),  (1,0,-1).  На­боры  (-1,1)  и  (-1,0,1)  не  подходит,  т.  к.  скорость  объекта  не  может  быть  меньше  чем  ,  (0,1,-1)  и  (1,-1,0)  не  подходят  в  силу  доказанного  выше  равенства  скоро­стей  в  точках  переключения  управления,  а  тривиальный  случай,  когда  отсутст­вует  переключение  управления    мы  не  рассматриваем.  Далее  найдем  начальные  данные,  при  которых  имеет  место  траектория  с  набором  управлений  (1,-1).  Для  упрощения  вычислений  будем  считать,  что  время  начала  движения  .  Движение  объекта  в  этом  случае  удовлетворяет  системе  уравнений

                         (5)

Выражая  неизвестные  величины  через  ,  после  проведения  необходимых  преобразований  получим  условия  существования  искомой  траектории:

Движение  с  двумя  точками  переключения  управления    описывается  системой

                (6)

Поступая  так  же,  как  и  в  предыдущем  случае,  получим,  что  рассматривае­мые  траектории  существуют,  если  значение  скорости  объекта  в  первый  момент  переключения    является  решением  уравнения 

в  интервале  .  Следует  заметить,  что  в  данном  случае  речь  идет  о  всех  траекториях,  удовлетворяющих  принципу  максимума.

Список  литературы:

1.Айзекс  Р.  Дифференциальные  игры.  М.:  Мир,  1967.  —  384  с.

2.Бердышев  Ю.И.  Синтез  оптимального  по  быстродействию  управления  для  одной  нелинейной  системы  четвертого  порядка  //  Прикладная  математика  и  механика.  —  1975.  —  Т.  39,  —  Вып.  6.  —  С.  985—994.

3.Бердышев  Ю.И.  Синтез  оптимального  по  быстродействию  управления  движением  материальной  точки  в  среде  с  сопротивлением.  Автореферат  канди­датской  диссертации,  Свердловск  1978  (УНЦ  АН  СССР).  —  18  с.

4.Золотых  М.С.,  Моисеев  И.А.  Частный  случай  синтеза  оптимального  управления  для  нелинейной  системы  четвертого  порядка.  Процессы  управления  и  устойчивость.  Труды  40-й  международной  научной  конференции  аспирантов  и  студентов  /под  ред.  Н.В.  Смирнова,  Г.Ш.  Тамасяна  СПб.:  Издат.  Дом  СПетерб.  гос.  ун-та,  2009.  —  С.  27—30.

5.Пацко  В.С.,  Пятко  С.Г.,  Кумков  С.И.,  Федотов  А.А..  Оценивание  движения  воздушного  судна  на  основе  информационных  множеств  при  непол­ных  замерах  координат.:  Научные  доклады.  Академия  ГА.  С.-Петербург,  1999;  ИММ  УрО  РАН,  Екатеринбург.  1999.  —  70  с.

6.Пацко  В.С.,  Турова  В.Л..  Игра  "шофер-убийца"  и  ее  модификации.:  Вестник  Удмуртского  университета.  Вып.  2.  Ижевск  2008.  —  С.  105—110.

7.Понтрягин  Л.С.,  Болтянский  В.Г.,  Гамкрелидзе  Р.В.,  Мищенко  Е.Ф.  Математическая  теория  оптимальных  процессов.  М.:  Наука,  1969,  —  384  с.

8.Розов  Н.Х.  Постановка  задачи  оптимального  управления.  Математика  на  службе  инженера  (Основы  теории  оптимального  управления).  Сборник.  М.:  Знание,  1973.  —  С.  6—27.

9.Isaacs  R.  Games  of  pursuit.  Scientific  report  of  the  RAND  Corporation.  Santa  Monica.  1951.

10.Patsko  V.S.,  Turova  V.L.  Level  sets  of  the  value  function  in  differential  games  with  the  homicidal  chauffeur  dynamics//  Game  Theory  and  Applications.  Vol.  N.Y.:  Nova  Science  Publishers.  2007.  —  P.  123—152.

11.Reeds  J.A.,  Shepp  L.A.  Optimal  paths  for  a  car  that  goes  both  forwards  and  backwards//  Pacific  J.  Math.  —  1990.  —  Vol.  145,  —  №  2.  —  P.  367—393.