ГЛАДКОСТЬ ПОГРАНСЛОЙНЫХ ЛИНИЙ РЕШЕНИЙ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С АНАЛИТИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ

SMOOTHNESS OF BOUNDARY-LAYER LINES OF SOLUTIONS OF SINGULARLY PERTURBED LINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH ANALYTICAL FUNCTIONS

Kushtarbek Tampagarov

candidate of phys.-math. sciences, director of Kochkor-Ata technical college,

Kyrgyzstan, Kochkor-Ata

АННОТАЦИЯ

Доказана следующая теорема. Существует такая переменная, что погранслойная линия линейного обыкновенного сингулярно возмущенного дифференциального уравнения с ненулевым аналитическим коэффициентом представляется в виде аналитической функции от этой переменной.

ABSTRACT

The following theorem is proven. There exists such variable that a boundary-layer line of a singularly perturbed linear differential equation with polynomial coefficient with initial condition that its solution has containing all these points

Ключевые слова: обыкновенное дифференциальное уравнение, линейное уравнение, аналитическая функция, сингулярное возмущение, погранслойная линия

Keywords: ordinary differential equation, linear equation, analytical function, singular perturbation, boundary-layer line.

1. Введение

В предыдущих статьях по теории сингулярно возмущенных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с переменой устойчивости свойства «простирающихся пограничных слоев», по-другому называемых «погранслойными линиями», постулировались, что сужало область применения результатов.

В данной статье доказано, что для случая ненулевого аналитического коэффициента существует такая переменная, что погранслойная линия линейного обыкновенного сингулярно возмущенного дифференциального уравнения представляется в виде аналитической функции от этой переменной. Как следствие, доказано, что в окрестности любой точки такая линия представляется в виде скалярной аналитической функции от одной из координат.

2. Результаты, используемые в настоящей статье

В статье [2] на основе метода [1] получены условия для возникновения на плоскости изменения аргумента линии в форме петли, названной авторами «простирающимся пограничным слоем». В статье [3] показано, что такие линии естественно возникают для сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений с аналитическими функциями, что можно рассматривать, как специфическое свойство таких уравнений. Также предложено называть их более кратко - погранслойными линиями [4]. Ниже коротко излагаются необходимые для дальнейшего результаты.

Рассматривается линейное уравнение c параметром 0 <ε <<1

ε z’(t,ε)= a(t) z(t,ε), z∈Ω⊂ С,                                (1)

С – комплексная плоскость, с начальным условием

z(t₀,ε)= z₀,                                                             (2)

где: Ω – односвязная область, t₀ – ее внутренняя точка, z₀∈С, z₀≠ 0, a(t) ≠ 0 – аналитическая в Ω функция. Тогда решение Z(t,e) задачи (1) – (2) существует и однозначно определено.

Определение 1. Если |Z(t₁,e)| ограничено при e → 0, то точка t₁ ∈Ω называется регулярной для задачи (1)-(2), в противном случае – нерегулярной; точка, в любой окрестности которой существуют как регулярные, так и нерегулярные точки, называется погранслойной точкой.

Определение 2. Любое множество погранслойных точек называется погранслойным множеством; погранслойное множество, являющееся непрерывным, локально взаимно-однозначным образом отрезка, называется погранслойной линией.

Определение 3. Для погранслойной точки t₁∈ С число Θ ∈ С₁:= {Θ ∈ С, |Θ|=1} называется погранслойным направлением, если для любого малого s >0 существует такое малое d>0, что множество

{t ∈ С : |Arg(t- t₁) - Argq | <σ, | t- t₁| =δ } содержит погранслойные точки.

Примечание. В погранслойных точках lim {Z(t₁,e)| e → 0}, вообще говоря, не существует. Это видно из следующего.

Пример 1. Уравнение ε z’(t,ε)=t z(t,ε) на Ω = С, с начальным условием z(0,ε)= 1, имеет решение Z(t,ε)= exp(t²/(2ε)). Здесь {t ∈ С: Re (t²) < 0} / {t ∈ С: Re (t²) >0} – регулярные / сингулярные точки функции Z(t,e).

При Re (t²) = 0 – уравнение погранслойной линии, заменяем t = (±i±1)s, s∈R₊, Z₁₂₃₄(t,ε)= exp(±is²/ε) – быстрые ограниченные колебания. Таким образом, для t=0 имеются четыре погранслойных направления.

Замена t_ω (s)= t₀+ω s, ω ∈ С₁, s∈R₊ ,W_ω​ (s,ε) = z(t_ω (s),ε), A_ω (s)= a(t_ω (s)) в (1) дает уравнение с начальным условием

e W_ω’(s,ε)=ω (A_ω (s) W(s,ε)), W(0,ε)= z₀. (3)

Существует такое целое неотрицательное n, что

a(t)=(t- t₀)ⁿa_n(t), a_n(t) ∈ Q (Ω), a_n(t₀) ≠ 0. (4)

Подставляя (4) в (3), получается уравнение

ε W_ω’(s,ε)= ω ⁿ⁺¹a_n(t₀+ω s) sⁿ W(s,ε), s∈R₊ . (5)

Выбирая ω=ω₀ так, чтобы было Re(ω₀ ⁿ⁺¹a_n(t₀)) = 0, получается погран-

слойное направление. Это можно сделать самое меньшее двумя способами, а при n>0 – (2n+2) способами. В силу непрерывности, при w, близких к w₀, будет и Re (ω ⁿ⁺¹a_n(t₀)) > 0, и Re (ω ⁿ⁺¹a_n(t₀)) < 0.

Из общей теории сингулярных возмущений следует, что при таких ω решение задачи (1)-(2) будет либо стремиться к ∞ при e → 0, либо стремиться к решению вырожденного уравнения с возможным всплеском в начале, но такие всплески (при n>0) будут только в отдельных точках.

Движение по соответствующему направлению является решением некоторого «погранслойного» дифференциального уравнения на плоскости С и дает погранслойную линию.

В [3; 5] введена функция U(s,ε)= z(T(s),ε)(z(T(s),ε))* – квадрат модуля функции z(t,e) вдоль некоторой траектории s∈[0, ∞). T(0)=0, ( )* – комплексное сопряжение. Надо так подобрать функцию T(s), чтобы было U’(s,ε)≡ 0. Выполняются следующие преобразования

ε U’(s,ε)= ε(z(T(s),ε)(z(T(s),ε))*)’=

= z(T(s),ε) (z(T(s),ε))*( a(T(s)) T’(s)+ (a(T(s)) T’(s))*). (6)

В общем виде, приравнивая правую часть (6) нулю, получено

a(T(s)) T’(s)+ (a(T(s)) T’(s))*= 0, Re(a(T(s)) T’(s))= 0. Полагая a(T(s))T’(s)=± i, отсюда получено уравнение погранcлойной линии в дифференциалах:

a(T)dT=± ids.                                              (7)

3. Теоремы о разрешимости уравнения погранcлойной линии

Теорема 1. Для любой точки T₁ на погранслойной линии, соответствующей значению параметра s₁, существует такой интервал (s₁ - δ, s₁ +δ), что T(s) – однозначная аналитическая функция на этом интервале.

Доказательство. Перепишем уравнение (7) в виде dT/ds=± i/a(T).

Поскольку a(T₁)≠ 0 по условию, это уравнение с начальным условием

T(s₁)= T₁ имеет аналитическое решение в некоторой окрестности это точки, что и требовалось доказать.

Теорема 2. Для любой точки T₁=(X₁,Y₁) на погранслойной линии, соответствующей значению параметра s₁, либо существует такой интервал (X₁ - δ, X₁ +δ), что погранслойная линия в окрестности точки T₁ представляется в виде x+iF(x) (X₁ - δ ≤ x ≤ X₁ +δ), F(X₁ )= Y₁ , где F(x) - однозначная скалярная гладкая функция, либо существует такой интервал (Y₁ - δ, Y₁ +δ), что погранслойная линия в окрестности точки T₁ представляется в виде G(y)+iy (X₁ - δ ≤ x ≤ X₁ +δ), G(Y₁ )= X₁, где G(y) - однозначная скалярная гладкая функция.

Доказательство. Перепишем T(s) в виде T(s)=X(s)+iY(s). Поскольку в силу (12) dT(s)/ds≠ 0, или dX(s)/ds+i dY(s)/ds ≠ 0, хотя бы одно из чисел (dX(s)/ds), (dY(s)/ds) не равно нулю. Если первое число не равно нулю, то получаем F₁(s):=dY(s)/dX(s)=(dY(s)/ds)/(dX(s)/ds) - сушествует. Также в силу соотношения dX(s)/ds ≠ 0 получаем, что в некоторой окрестности точки X₁ число s однозначно выражается через x: s = S(x). Отсюда следует дифференциальное уравнение с начальным условием dy/dx= F₁(S(x)), y(X₁)= Y₁. Теорема доказана.

Список литературы:

1. Алыбаев К.С. Метод линий уровня исследования сингулярно возмущенных уравнений при нарушении условия устойчивости // Вестник Кыргызского гос. национального университета. – Серия 3, Выпуск 6, 2001. – С. 190–200.
2. Алыбаев К.С., Нарбаев М.Р. Явление простирающегося пограничного слоя для сингулярно возмущенных уравнений при потере устойчивости // Вестник Жалал-Абадского гос. университета. – 2008, № 1. – С. 122–126.
3. Панков П.С., Алыбаев К.С., Тампагаров К.Б., Нарбаев М.Р. Явление погранслойных линий и асимптотика решений сингулярно возмущенных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с аналитическими функциями // Вестник Ошского гос. университета, 2013. – № 1 (спец. выпуск). – C. 227–231.
4. Тампагаров К.Б. Метод характеризующих функций исследования асимптотического поведения решений сингулярно возмущенных уравнений в комплексной плоскости // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям, вып. 47. – Бишкек: Илим, 2014. – С. 98–102.
5. Alybaev K.S., Tampagarov K. Criterion of existence of boundary layer lines of regular and singular domains for singularly perturbed equations with analytical functions // Abstracts of the Issyk-Kul International Mathematical Forum (Kyrgyzstan, Bozteri, 24–27 June, 2015) / Edited by Acad. A. Borubaev. – Bishkek: Kyrgyz Mathematical Society, 2015. – P. 32.