ВРАЩАТЕЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЦИЛИНДРА ПО ДУГЕ БОЛЬШОГО РАДИУСА В ВОЗДУШНОМ ПОТОКЕ

ROTATIONAL OSCILLATIONS OF THE CYLINDER ALONG THE ARC OF BIG RADIUS IN THE AIR FLOW

Veneras Gabdylkhakova

student of faculty of mathematics and mechanics of St. Petersburg State University,

Russia, St. Petersburg

Ryabinin Anatoly

d.Sc, Principal Researcher, St. Petersburg State University,

Russia, St. Petersburg

АННОТАЦИЯ

В работе изучаются вращательные колебания цилиндра малого удлинения по дуге, радиус которой превышает размеры цилиндра. Получены зависимости амплитуды колебаний от скорости набегающего потока. Показано, что квазистационарная модель галопирования цилиндра, не описывает вращательные колебания.

ABSTRACT

In the paper rotational oscillations of the cylinder of small aspect ratio along of the arc, the radius of which is greater than the size of the cylinder. The dependence of the oscillation amplitude on the flow velocity is obtained. It is shown that quasi-stationary model of galloping cylinder does not describe the rotational oscillations.

Ключевые слова: цилиндр; вращательные колебания; математическая модель.

Keywords: cylinder; rotational oscillations; mathematical model.

Возможность возникновения колебаний плохо обтекаемых тел в воздушном потоке необходимо учитывать, например, при строительстве зданий, мостов, мачт, переносе грузов подъемным краном, при переносе грузов под вертолетом [3].

Одним из типов колебаний тел в потоке является галопирование – колебания, вызванные специфической зависимостью аэродинамических сил от координат тела и от производных координат по времени. Конкретный вид зависимостей зависит от формы тела и от его движения. В случае поступательного движения длинных неосесимметричных тел большого удлинения поперек потока хорошо зарекомендовала себя квазистационарная модель галопирования, в основе которой лежит предположение, что коэффициенты аэродинамических сил зависят только от местного угла атаки [4; 5]. Зависимость коэффициента аэродинамической силы, направленной вдоль траектории движения тела, от угла атаки определяется в экспериментах с неподвижно закрепленным телом в рабочей части аэродинамической трубы. Применимость квазистационарной модели галопирования к телам небольшого удлинения, движущимся поступательно, была доказана в работах [2; 6].

В настоящей статье проверяется возможность применения квазистационарной модели галопирования к описанию вращательных колебаний цилиндра малого удлинения вдоль дуги, радиус которой превышает в несколько раз размеры цилиндра.

В настоящей работе рассматриваются колебания кругового цилиндра, длина которого равна радиусу цилиндра R = 7 см. Цилиндр закреплен на упругой подвеске, как показано на рис. 1. К одному из торцов цилиндра прикреплена хвостовая державка. На другом конце державки находится ось вращения, перпендикулярна оси цилиндра и вектору скорости набегающего потока. Расстояние от оси вращения до оси цилиндра равно l = 48,5 см. Скорость центра цилиндра относительно среды является суммой вектора скорости набегающего потока, взятой с обратным знаком –v, и скорости движения цилиндра  по окружности радиуса l c угловой скоростью  (см рис. 1). Тангенс мгновенного угла атаки колеблющегося тела описывается формулой: . Для малых углов  эта формула принимает вид:

.                                                                                                                                                           (1)

Рисунок 1. Схема эксперимента. 1 – цилиндр, 2 – хвостовая державка, 3 – ось вращения, 4 – сопло аэроди-намической трубы, 5 – пружины, 6 – полупроводниковый тензопреобра-зователь С-50, 7 – осциллограф Velleman PCS500А, 8 – компьютер

Движение цилиндра описывается уравнением:

                                                                            (2)

где: J – момент инерции цилиндра и подвески, k – жесткость упругой подвески, r – коэффициент демпфирования, C_n – коэффициент нормальной силы, v – скорость набегающего потока, S – площадь основания цилиндра, ρ₀ – плотность воздуха.

В уравнение (2) входит аэродинамический коэффициент C_n, который в рамках квазистационарной модели зависит только от мгновенного угла атаки a. Зависимость C_n(a) может быть определена в эксперименте с неподвижно закрепленным цилиндром. Наши измерения с помощью весов с проволочной подвеской позволили аппроксимировать экспериментально найденную зависимость C_n(a) полиномом

                                                                          (3)

где: А₃ = – 4,2, А₅ = 21.

Уравнение (2) преобразовывается к виду

                                                                     (4)

Уравнение (4) с учетом равенств (1) и (3) методом Крылова-Боголюбова сводится к двум дифференциальным уравнениям для медленно меняющихся амплитуды r и фазы q колебаний:          

                                         (5)                                                                                                  (6)

Приравнивая правую часть (5) нулю, получаем уравнение для нахождения амплитуды r установившихся колебаний в зависимости от скорости набегающего потока v.

Цилиндр на упругой подвеске расположен в рабочей части дозвуковой аэродинамической трубы АТ-12, описание которой представлено в работе [1]. К одной из стальных пружин подвески присоединен полупроводниковый тензопреобразователь С-50, позволяющий измерять натяжение пружины. Сигнал с тензопреобразователя поступает на вход PC – осциллографа Velleman PCS500А, работающего в режиме самописца.

При появлении установившихся колебаний осциллограф производит по 100 считываний за одну секунду на протяжении 17 секунд, эти данные записываются компьютером в текстовый файл для последующей обработки. Записанные данные представляют собой гармонический сигнал, на который накладываются случайные погрешности. Была написана программа, позволяющая выделить гармоническую составляющую сигнала, определить амплитуду сигнала и оценить, как амплитуда изменяется при проведении измерений. Для того, чтобы связать амплитуду электрического сигнала с амплитудой угловых колебаний, производилась градуировка прибора.

В отдельном эксперименте изучались затухающие колебания в отсутствие потока. Результаты этого эксперимента позволили определить коэффициент k_r, входящий в уравнение движения (4). Уравнение (4), в котором скорость v = 0, предсказывает колебания, затухающие экспоненциально. Эксперимент позволяет определить логарифмический коэффициент затухания, равный k_r/2.

Рисунок 2. Результаты эксперимента и расчеты амплитуды колебаний цилиндра в зависимости от скорости набегающего потока. 1 – эксперимент, 2 – расчет, устойчивое решение, 3 – неустойчивое решение

На рис. 2 приведен график зависимости амплитуды колебаний от скорости набегающего потока вместе с теоретической кривой, полученной приравниванием правой части уравнения (5) нулю.

Приведенные данные свидетельствуют, что квазистационарная математическая модель, хорошо предсказывающая амплитуду колебаний в случае поступательного движения колеблющегося тела, не годится для описания вращательных колебаний, даже если радиус дуги, по которой происходит движение, в несколько раз превосходит размеры тела.

Список литературы:

1. Ковалев М.А. О расчете и исследовании аэродинамических труб // Уч. зап. Ленингр.ун-та. 1939. – Вып. 7. – С. 61–86.
2. Люсин В.Д., Рябинин А.Н. Исследование влияния удлинения призмы на ее аэродинамические характеристики и амплитуду колебаний при галопировании // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. – 2011. – Вып. 2. – С. 139–14.
3. Рябинин А.Н. Некоторые задачи аэродинамики плохообтекаемых тел. СПб: изд-во С-Петербург. ун-та. – 1997. – 142 c.
4. Parkinson G.V., Brooks N.P. On the aeroelastic instability of bluff cylinders // Journal of Applied Mechanics. 1961. – Vol. 28. – P. 252–258.
5. Parkinson G.V., Smith J.D. The square prism as an aeroelastic non-linear oscillator. // Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics. 1964. – Vol. 17. – P. 225–239.
6. Ryabinin A.N., Lyusin V.D. Galloping of small aspect ratio square cylinder // ARPN Journal of Engineering and Applied Sciences. 2015. – Vol. 10, – № 1. – P. 134–138.