МОДЕЛИРОВАНИЕ  ТЕЧЕНИЯ  В  ОБХОДНОЙ  ГАЛЕРЕЕ  СУДОХОДНОГО  ШЛЮЗА  С  ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ  СРЕДСТВ  МАТЕМАТИЧЕСКОГО  ПАКЕТА  MAPLE

Тимофеева  Ольга  Алексеевна

аспирант,  ГУМРФ  им.  адм.  С.О.  Макарова,  г.  Санкт-Петербург

E-mail: 

1.  Введение

Целью  данной  работы  является  реализация  решения  задачи  Гольдштика  в  математическом  пакете  Maple.  Задача  Гольдштика  является  основой  математической  модели  для  описания  течения  потоков  жидкости  в  галереях  при  наполнении  и  опорожнении  шлюза.  Реализация  в  математическом  пакете  Maple  подразумевает  создание  интерфейса  для  ввода  данных  и  получения  картины  течения  с  вычислением  его  гидродинамических  характеристик.  Следующая  конструкция  применяется  на  шлюзе  Верхне-Свирского  гидроузла  с  системой  питания  через  водопроводные  галереи.  Упрощенная  схема  шлюза  представлена  на  рисунке  1.

Рисунок  1.  Схема  шлюза:  1  —  Подводящий  канал;  2  —  Камера  шлюза;  3  —  Верхние  ворота;  4  —  Обходная  галерея;  5  —  Плоский  затвор

Часть  обходной  галереи,  исследуемая  в  статье,  показана  на  рисунке  2.

Рисунок  2.  Участок  обходной  галереи  шлюза

2.  Задача  Гольдштика

Находясь  в  рамках  идеального  течения  разделим  течение  в  данной  модели  на  два  независимых  [6,  4]:

1)  потенциальное  течение  в  области  ,  ограниченной  стенками  галереи,  линиями  входа  и  выхода  потока,  и  струей  ,  срывающейся  с  края  затвора;

2)  вихревое  течение  с  постоянной  завихренностью    в  области  ,  дополняющей    до  всей  галереи.

Кривая    не  задается,  ее  надо  подобрать  так,  чтобы  она  была  линией  тока,  и  чтобы  поле  скоростей  оставалось  непрерывным  всюду  в  галерее.  Последнее  очень  существенно,  т.  к.  приводит  не  просто  к  разрывному,  а  нелинейному  уравнению,  которое  называется  [1]  задачей  Гольдштика.  В  этой  схеме  установившегося  движения  вихри  располагаются  во  всех  точках  области  .  Тогда  для  координат  вектора  скорости    и    получим  следующие  уравнения  в  области  :

,                        (1)

в  области  :

,                           (2)

В  этом  случае  движение  жидкости  не  потенциально,  тем  не  менее,  для  решения  задач  обтекания  вводится  функция  тока,  для  дифференциала  которой  выполняется  ,  в  силу  вторых  уравнений  это  выражение  является  точным  дифференциалом.  Линии  тока  также  определяются  как  линии,  где  .  Для  функции  тока  получим  уравнение  Пуассона:

                                     (3)

с  заданными  граничными  условиями  на  стенках,  а  также  на  входе  и  выходе  из  галереи  ,  но  области    и    неизвестны.  Функция  тока  на  нижней  стенке  галереи  равна  нулю,  а  на  верхней  стенке  и  на  затворе  равна  расходу  жидкости  .  На  входе  и  выходе  функция  тока  изменяется  непрерывно.  Кроме  того,  имеем  дополнительные  условия:  ,  так  как  кривая    является  линией  тока.  Таким  образом,  получаем  нелинейное  уравнение  Гольдштика  [1]

                                  (4)

с  граничными  условиями  ,  .  Алгоритм  решения  данного  варианта  уравнения  Пуассона  известен  для  стандартных  областей.  Имея  ввиду  приложения  схемы  склеивания  течений  различных  типов  в  обходных  галереях,  будем  конструктивно  строить  оператор  Грина,  т.  е.  сведем  задачу  к  решению  граничных  интегральных  уравнений  методом  граничных  элементов.

Изложим  алгоритм  решения,  который  состоит  из  следующих  пунктов:

1)  Требуется  найти  гармоническую  функцию    в  области    с  заданными  изначально  граничными  значениями  .  Решение  задачи  Дирихле  ищем  в  виде  потенциала  двойного  слоя  [2]:

.                             (7)

2)  Рассмотрим  объемный  потенциал

,                              (8)

тогда  гладкая  функция    является  решением  уравнения  Пуассона  всюду  в  .  Для  неё  выполняется

.                                    (9)

3)  Необходимо  решить  задачу  Дирихле:    в  области    с  граничными  условиями  .  Решение  выполняется  аналогично  пункту  1  с  использованием  потенциала  двойного  слоя.

4)  Полагаем  ,  и  получаем  решение  уравнения  Пуассона  с  нулевыми  граничными  условиями.  Умножая    на  величину  завихренности,  получим  решение  уравнения  Пуассона  с  заданной  величиной  завихренности

                                  (10)

Решение  искомой  задачи  представляется  в  виде  суммы  .

5)  На  линии    раздела  вихревого  и  потенциального  течений  функция    должна  быть  равной  .  Поэтому  если  это  условие  не  выполнено,  то  необходимо  скорректировать  как  величину  завихренности,  так  и  границу.

6)  Новое  значение  величины  завихренности  вычисляется  из  условия,  что  значение  функции  тока  во  всех  узлах  линии    равно  .  После  выбора  завихренности  проводится  проверка  на  равенство    значений  функции  тока  на  линии  .  При  невыполнении  данного  условия  находим  кривую  ,  на  которой  значение  функции  тока  равно  .  Повторяем  пункты  2—6  алгоритма.

3.  Гидродинамические  нагрузки

При  эксплуатации  гидротехнических  сооружений,  таких  как  судоходные  шлюзы,  важное  значение  имеет  определение  результирующей  силы  гидродинамического  давления  на  затвор  обходной  галереи.  Для  его  вычисления  воспользуемся  уравнением  Бернулли  для  установившегося  течения  идеальной  жидкости

,                        (11)

где:    —  давление  жидкости  перед  затвором;

  —  скорость  течения  перед  затвором;

  —  давление  жидкости  за  затвором;

  —  скорость  течения  за  затвором,

,    —  глубина.

На  одинаковой  высоте  для  вычисления  результирующего  давления  на  затвор  получим:

,

где  скорости  ,    вычисляются  согласно  пункту  2.

4.  Интерфейс  программы  и  результаты

Описанный  алгоритм  решения  задачи  Гольдштика  был  реализован  в  математическом  пакете  Maple.  При  запуске  программы  в  редактируемые  поля  интерфейса  устанавливаются  значения  по  умолчанию,  которые  могут  быть  изменены:  «Высота  галереи  d»,  «Длина  участка  галереи  перед  затвором  a»,  «Длина  участка  галереи  за  затвором  b»,  «Относительная  высота  поднятия  затвора  c/d»,  «Ширина  затвора»,  «Расход  жидкости»  (),  «Исходная  величина  завихренности»,  «Максимальная  погрешность  вычислений».

Для  параметра  «Корректировка  величины  завихренности»,  который  определяет  возможность  корректировки  величины  завихренности  на  каждой  итерации,  использован  элемент  checkbox.  Если  флажок  установлен,  то  величина  завихренности  корректируется,  в  противном  случае  она  постоянна.

Параметр  «Количество  узлов  на  участке»  ()  выбирается  при  помощи  элемента  интерфейса  —  slider.  На  корректируемой  кривой  исходное  количество  узлов  будет  равно  ,  общее  число  узлов  на  границе  области  равно  .

После  нажатия  на  кнопку  "Plot"  будет  запущен  процесс  нахождения  линии  раздела  областей  с  потенциальным  и  вихревым  течениями.  Во  время  работы  программы  блокируются  для  редактирования  поля  вводимых  значений.  Также  недоступными  для  нажатия  становятся  кнопки:  "Plot",  «Построить  линии  тока»,  «Гидродинамические  характеристики»,  "Close".  Процесс  работы  программы  можно  остановить,  нажав  кнопку  "Stop".  В  процессе  работы  программы  будут  редактироваться  на  каждой  итерации  параметры  «Номер  текущей  итерации»  и  «Величина  завихренности».  В  результате  работы  программы  будет  построен  график  найденной  линии,  указано  количество  выполненных  итераций  и  итоговая  величина  завихренности.

После  построения  линии  раздела  становятся  доступными  кнопки:  «Построить  линии  тока»,  «Гидродинамические  характеристики»,  "Close".  Нажатие  кнопки  «Построить  линии  тока»  запустит  процесс  построения  линий  тока  с  шагом  .  Нажатие  кнопки  «Гидродинамические  характеристики»  приведет  к  открытию  нового  окна,  на  котором  будут  выведены:  графики  скоростей  течения  перед  затвором  и  за  ним,  график  результирующего  давления  за  затвором  (с  указанием  максимального  давления  перед  затвором  и  за  ним).  Нажатие  кнопки  "Close"  приведет  к  закрытию  программы.

На  рисунке  3  приведен  интерфейс  программы.

Рисунок  3.  Интерфейс  программы

На  рисунке  4  показана  полученная  картина  течения.

Рисунок  4.  Результат  работы  программы

На  рисунке  5  показан  результат  нажатия  кнопки  «Построить  линии  тока».

Рисунок  5.  Построение  линий  тока

На  рисунке  6  показано  окно,  появляющееся  в  результате  нажатия  кнопки  «Гидродинамические  характеристики».

Рисунок  6.  Гидродинамические  характеристики

Список  литературы:

1.Вайнштейн  И.И.  Решение  двух  дуальных  задач  о  склейке  вихревых  и  потенциальных  течений  вариационным  методом  М.А.  Гольдштика  //  Журнал  Сибирского  федерального  университета.  Математика  и  физика,  2011,  №  4(3),  320—331.

2.Васин  А.В.,  Тимофеева  О.А.  Определение  линии  раздела  областей  с  потенциальным  и  вихревым  течениями  //  Журнал  Университета  водных  коммуникаций,  2012,  вып.  2(14),  8—13.

3.Владимиров  В.С.,  Жаринов  В.В.  Уравнения  математической  физики:  Учебник  для  вузов,  М.:  ФИЗМАТЛИТ,  2008,  400  с.

4.Гольдштик  М.А.  Вихревые  потоки.  —  Новосибирск:  Наука,  Сиб.  отделение,  1981,  368  с.

5.Дьяконов  В.П.  Maple  9.5/10  в  математике,  физике  и  образовании  —  М.:  Солон-Пресс,  2006,  720  с.

6.Лаврентьев  М.А.,  Шабат  Б.В.  Проблемы  гидродинамики  и  их  математические  модели  —  М.:  Наука.  Гл.  ред.  физ.-мат.  лит.,  1977,  416  с.