ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ВИДОВ СИЛ ТРЕНИЯ, ВОЗНИКАЮЩИХ ПРИ ДВИЖЕНИИ ПОРШНЯ В ТРУБЕ

Насибуллаев Ильдар Шамилевич

к. ф.-м. н., ФГБОУ УГАТУ, г. Уфа

Насибуллаева Эльвира Шамилевна

доцент, к. ф.-м. н., Институт Механики УНЦ РАН, г. Уфа

E-mail: elvira98@mail.ru

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 11-01-97007, 11-08-00823, 11-08-97046).

Введение. Исследование влияния трения между внутренними частями технических элементов на характер движения элементов (например, движение поршня в трубе) является актуальной задачей, так как позволяет определить параметры, при которых трение будет минимальным, а коэффициент полезного действия — максимальным.

С точки зрения трибологии различают различные виды трения, прежде всего сухое и вязкое трение. В первом приближении коэффициент сухого трения λ является коэффициентом пропорциональности между силой трения F_f и силой нормальной реакции N_n (закон Амонтона–Кулона). Сила вязкого трения проявляется при движении твердого тела по поверхности жидкости и определяется напряжением, создаваемым жидкостью на поверхности твердого тела. Величина силы вязкого трения F_v ньютоновской жидкости пропорциональна площади контакта и градиенту скорости в направлении, перпендикулярном движению (закон Ньютона). Коэффициентом пропорциональности является величина динамической вязкости жидкости μ [2].

Таким образом, для определения силы вязкого трения, действующей на твердую поверхность, необходимо решить гидродинамическую задачу движения жидкости.

Математическая модель. Рассмотрим движение поршня радиуса r₁ и массой m внутри цилиндра радиуса  (здесь h — зазор между поршнем и цилиндром), заполненного жидкостью с плотностью ρ и динамической вязкостью μ, под действием периодического по времени перепада давления  с  (см. рис. 1), где  — амплитуда давления;  — угловая частота; f — частота осцилляций давления. Начало цилиндрической системы координат поместим на оси в центре цилиндра. Координаты в радиальном и осевом направлениях обозначим через r и z соответственно, а соответствующие компоненты скорости течения жидкости — через v_r и v_z. Скорость движения поршня имеет только одну компоненту v_p вдоль оси z.

Уравнение движения поршня описывается вторым законом Ньютона:

,       (1)

где S_p — площадь поперечного сечения поршня;  — площадь внешней поверхности поршня; L — длина поршня. Второе слагаемое уравнения (1) описывает силу вязкого трения F_v. В начальный момент времени поршень покоится, т.е. .

Пренебрегая краевыми эффектами, которые возникают вблизи краев поршня, и для случая осесимметричного течения получим уравнение движения жидкости [1]:

, .                  (2)

Граничные условия на поверхности поршня и цилиндра определяются из условия залипания: , .

Результаты. Уравнения (1)–(2) с граничными условиями записывались в виде конечно-разностной схемы и решались численно методом Ньютона–Рафсона. При разбиении сетки по координате на 50 узлов и 2·10⁵шагов за 1 с по времени погрешность вычислений не превышала 1%. Расчеты проводились при следующих значениях параметров: см, , , Па·с, кг/м³, кг/м³, Па, Гц.

Рисунок 2. Зависимость силы воздействия жидкости f_v  на поршень

На рис. 2 показана зависимость силы , действующей на поршень со стороны жидкости. При совпадении знаков f_v и скорости поршня v_p эта сила ускоряет движение поршня, т.е. поршень увлекается потоком жидкости, а при различных знаках f_v проявляется как сила вязкого трения, т.е. уменьшает скорость поршня). Двоякая роль силы f_v объясняется тем, что на жидкость, как и на поршень, действует одинаковый градиент давления и, в силу того, что инерция поршня выше, жидкость движется быстрее поршня и увлекает его за собой. В моменты, когда градиент давления меняет знак, поршень продолжает двигаться по инерции, а течение жидкости меняет свое направление и f_v действует как сила вязкого трения.

Рисунок 3. Профили скорости жидкости  в различные моменты времени: 0.25 периода (—); 0.5 периода (– –); 0.75 периода (- -); 1 период (···)

Рис. 4. Координаты положения поршня z от времени t (черные линии): без трения (—); Н (– –); Н (- -); Н (···). Серая линия — давление от времени

Отметим, что если убрать действие перепада давления на жидкость (т.е. убрать пуазейлевскую составляющую и оставить только сдвиговую), то f_v будет действовать как сила вязкого трения в любой момент времени. Это хорошо видно на рис. 3, где показаны профили скорости жидкости v_z в различные моменты времени. Видно, что при малых скоростях движения поршня (0.5 и 1 период) v_p профили скорости жидкости v_z соответствуют пуазейлевскому течению, а при больших скоростях v_p (0.25 и 0.75 периода) реализуется сдвиговое течение. Сила f_v по величине намного меньше силы, действующей на поршень со стороны градиента давления, поэтому характер движения поршня с силой вязкого трения и без трения слабо различаются (отличия ~ 2%).

Рассмотрим поведение системы при , т.е. когда зазор между поршнем и трубой отсутствует и на поршень действует сила сухого трения. Если действующая на поршень сдвигающая сила F₁ мала, то поршень покоится из-за действия силы трения покоя . При переходе F₁ через пороговое значение максимальной силы трения покоя, поршень начинает движение и на него действует сила трения скольжения . На рис. 4 показаны зависимости координаты поршня z от времени для различных значений силы F_g. Отметим, что при отсутствии и при наличии силы трения положение точки равновесия будут различными. Это объясняется тем, что в отсутствии трения скорость поршня в первую четверть периода растет, следующую четверть периода уменьшается до нуля, а смещение достигает максимального значения. В течение следующей половины периода скорость отрицательна и в конце поршень доходит до своего первоначального положения. Движение является периодическим с самого начала.

Заключение. В ходе работы было получено, что сила, действующая со стороны жидкости на поршень, может привести как к ускорению, так и к замедлению (вязкое трение) скорости поршня. Наличие сухого трения смещает положение равновесия и сдвиг по фазе относительно фазы градиента давления.

Список литературы:

1.        Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. 6. М.: Наука, 1988. 736 с.

2.        Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. 1. М.: Наука, 1970. 492 с.